加法逆元

加法逆元（additive inverse）又称相反数（opposite）、反数，其定义是对于任意数${\displaystyle a}$，存在相反数满足其与${\displaystyle a}$的和为零（加法单位元）；${\displaystyle a}$ 的加法逆元表示为 ${\displaystyle -a}$。

在实数中，数${\displaystyle a}$的相反数${\displaystyle -a}$，称为其加法逆元；相对地，数${\displaystyle a}$的倒数${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$或${\displaystyle a^{-1}}$，则称为其乘法逆元。

一般定义

设“+”为一个交换性的二元运算，即对于所有${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x+y=y+x}$。若该集合中存在一个元素${\displaystyle 0}$，使得对于所有${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x+0=0+x=x}$，则此元素是唯一的。如果对于一个给定的${\displaystyle x}$，存在一个${\displaystyle x'}$使得${\displaystyle x+x'=x'+x=0}$，则称${\displaystyle x'}$是${\displaystyle x}$的加法逆元。

特殊情况

定义

若“+”满足结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。

证明

反证法： 设${\displaystyle x}$有两个相异的加法逆元${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$
有${\displaystyle x=x+0}$ 的关系。
⇒ ${\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}}$
⇒ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$
产生矛盾，证讫。

例

• 向量空间：纯量乘法${\displaystyle -1}$
• 欧几里得空间：以原点为中心的反演变换

参考文献