2的算术平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数或分数表示。
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其最初65位为
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是无理数的证明
另外一个是无理数的反证法证明较少为人所知,但证明方法也相当漂亮:
- 假设是有理数,便可以表示成最简分数,其中, 为正整数
- 由于,所以
- 因为
- 所以
- 故是比更简的分数,与是最简分数的假设矛盾
从一个直角边为,斜边为的等腰直角三角形,可以用尺规作图作出直角边为,斜边为的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。
性质
2的算术平方根的连分数展开式为:
注释
参见
外部链接
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