2的算术平方根

2的算术平方根，俗称“根号2”，记作 ${\sqrt {2}}$ ，可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“ ${\sqrt {2}}$ 不是有理数”的命题：若一个直角三角形的两个直角边都是1，那么它的斜边长，无法用整数或分数表示。

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${\sqrt {2}}$ 其最初65位为

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… （OEIS数列A002193）

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人们发现了许多方法证明 ${\sqrt {2}}$ 是无理数。以下是反证法的证明

假设 ${\sqrt {2}}$ 是有理数，即有整数 $a_{0}$ 、 $b_{0}$ ，使得 ${\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\sqrt {2}}$
将 ${\sqrt {2}}$ 重写成最简分数 ${\tfrac {a}{b}}$ ，即 $a$ 和 $b$ 互质，且 $\left({\tfrac {a}{b}}\right)^{2}=2$
所以 ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2$ ，即 $a^{2}=2b^{2}$
因为 $2b^{2}$ 必为偶数，故 $a^{2}$ 亦是偶数
故 $a$ 为偶数（奇数的平方不会是偶数）
所以必有一整数 $k$ ，使得 $a=2k$
将（3）的式子代入（6）： $2b^{2}=\left(2k\right)^{2}$
化简得 $b^{2}=2k^{2}$
因为 $2k^{2}$ 是偶数，所以 $b^{2}$ 是偶数， $b$ 亦是偶数
所以 $a$ 和 $b$ 都是偶数，跟 ${\frac {a}{b}}$ 是最简分数的假设矛盾
因为导出矛盾，所以（1）的假设错误， ${\sqrt {2}}$ 不是有理数，即是无理数

这个证明可推广至证明任何非完全平方数的正整数 $n$ ，其算术平方根 ${\sqrt {n}}$ 为无理数。

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另外一个 ${\sqrt {2}}$ 是无理数的反证法证明较少为人所知，但证明方法也相当漂亮：

假设 ${\sqrt {2}}$ 是有理数，便可以表示成最简分数 ${\frac {m}{n}}$ ，其中 $m$ , $n$ 为正整数
${\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{2-1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}$
由于 ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ ，所以 ${\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {2-{\frac {m}{n}}}{{\frac {m}{n}}-1}}={\frac {2n-m}{m-n}}$
因为 ${\frac {m-n}{n}}={\sqrt {2}}-1$
$2>{\sqrt {2}}\Rightarrow 1+1>{\sqrt {2}}\Rightarrow {\sqrt {2}}-1<1$
所以 $m-n<n$
故 ${\frac {2n-m}{m-n}}$ 是比 ${\frac {m}{n}}$ 更简的分数，与 ${\frac {m}{n}}$ 是最简分数的假设矛盾

从一个直角边为 $n$ ，斜边为 $m$ 的等腰直角三角形，可以用尺规作图作出直角边为 $m-n$ ，斜边为 $2n-m$ 的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。

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2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积：

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .

{\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .

2的算术平方根的连分数展开式为：

\!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.

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注:

[注1]
令 $\!\ x=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$ ，由观察可知 $x=2+{\frac {1}{x}}$ ，即 $x^{2}-2x-1=0$ ，解方程，取正根，得 $x=1+{\sqrt {2}}$ ，因此 ${\sqrt {2}}=x-1=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$ 。