泛包络代数

在数学中，我们可以构造任意李代数 ${\displaystyle L}$ 的泛包络代数 ${\displaystyle U(L)}$。李代数一般并非结合代数，但泛包络代数则是带乘法单位元的结合代数。李代数的表示理论可以理解为其泛包络代数的表示理论。在几何上，泛包络代数可以解释为李群上的左不变微分算子。

泛性质

以下固定域 ${\displaystyle K}$。首先注意到：对任意带乘法单位元的 ${\displaystyle K}$-结合代数 ${\displaystyle U}$，定义括积 ${\displaystyle [a,b]:=ab-ba}$，可视 ${\displaystyle U}$ 为李代数。

泛包络代数系指带单位元的结合代数 ${\displaystyle U(L)}$ 及一个指定的李代数同态 ${\displaystyle i:L\to L(U)}$。这对资料由下述泛性质刻划：

对任意带乘法单位元的 ${\displaystyle K}$-结合代数 ${\displaystyle A}$， 若存在李代数同态

${\displaystyle h:L\to A}$。

则存在唯一的代数同态

${\displaystyle g:U(L)\to A}$

使之满足

${\displaystyle g\circ i=h}$

换言之，函子 ${\displaystyle L\mapsto U(L)}$ 满足下述关系：

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mbox{Alg.}}(U(L),A){\stackrel {\sim }{\to }}\mathrm {Hom} _{\mbox{Lie alg.}}(L,A)}$

${\displaystyle g\mapsto g\circ i}$

借此，可视 ${\displaystyle U(-)}$ 为 ${\displaystyle U}$（单位结合代数）${\displaystyle \mapsto U}$（李代数）的左伴随函子。

构造方式

首先考虑张量代数 ${\displaystyle T(L)}$，此时有自然的包含映射 ${\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}$。取 ${\displaystyle I\subset T(L)}$ 为下列元素生成的双边理想

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)}$

定义

${\displaystyle U(L):=T(L)/I}$

所求的映射 ${\displaystyle i:L\to U(L)}$ 为 ${\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}$ 与商映射的合成。容易验证 ${\displaystyle i}$ 保存李括积。

根据上述构造，可直接验证所求的泛性质。

基本性质

• 若 ${\displaystyle L}$ 可交换，则 ${\displaystyle U(L)}$ 亦然；此时 ${\displaystyle U(L)}$ 同构于多项式代数。
• 若 ${\displaystyle L}$ 来自李群 ${\displaystyle G}$，则 ${\displaystyle U(L)}$ 可理解为 ${\displaystyle G}$ 上的左不变微分算子。
• ${\displaystyle U(L)}$ 的中心 ${\displaystyle Z(U(L))}$ 显然包含 ${\displaystyle i(Z(L))}$，但不仅如此，通常还包括更高阶的元素，例如喀希米尔元素；这种元素给出李群上的拉普拉斯算子。

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

主条目：庞加莱-伯克霍夫-维特定理

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包络代数的根本定理之一。取定有限维李代数 ${\displaystyle L}$ 的基 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$，此定理断言

${\displaystyle X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\quad (e_{1},\ldots ,e_{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0})}$

是 ${\displaystyle U(L)}$ 的基。此定理的直接推论是：${\displaystyle i:L\to U(L)}$ 为单射。

表示理论

在泛性质中取 ${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$，其中 ${\displaystyle V}$ 为任意向量空间，遂可等同 ${\displaystyle L}$ 的表示与 ${\displaystyle U(L)}$ 的表示，后者不外是 ${\displaystyle U(L)}$-模。借此观点，李代数表示理论可视为模论的一支。

群代数之于群表示一如泛包络代数之于李代数的表示。两者都具有霍普夫代数结构。

文献

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6