泊松分布(法语:loi de Poisson;英语:Poisson distribution)又称Poisson分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小数法则(Poisson law of small numbers),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。
事实速览 参数, 值域 ...
泊松分布
概率质量函数 横轴是索引k,发生次数。该函数只定义在k为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。 |
累积分布函数 横轴是索引k,发生次数。CDF在整数k处不连续,且在其他任何地方都是水平的,因为服从泊松分布的变量只针对整数值。 |
参数 |
λ > 0(实数) |
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值域 |
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概率质量函数 |
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累积分布函数 |
,或,或
(对于,其中是不完全Γ函数,是高斯符号,Q是规则化Γ函数) |
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期望值 |
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中位数 |
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众数 |
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方差 |
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偏度 |
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峰度 |
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熵 |
(假设较大)
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矩生成函数 |
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特征函数 |
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概率母函数 |
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关闭
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数,电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、雷射的光子数分布等等。(单位时间内发生的次数,可以看作事件发生的频率,类似物理的频率)。
泊松分布的机率质量函数为:
泊松分布的参数是随机事件发生次数的数学期望值。
期望值:(倒数第三至第二是使用泰勒展开式)
我们可以得到:
如同性质:、
相互独立的卜瓦松分布随机变数之和仍服从卜瓦松分布:
对某公共汽车站的客流做调查,统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批(每批可以是1人也可以是多人)是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次,共观察77分钟*3=231次,共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计(MLE),得到的估计为。