绝热指数

绝热指数（英语：adiabatic index）是指等压热容（${\displaystyle C_{P}}$）和等容（等体积）热容（${\displaystyle C_{V}}$）的比值，也称为热容比（英语：heat capacity ratio）、比热比（英语：specific heat ratio）或绝热膨胀系数（英语：isentropic expansion factor），常用符号${\displaystyle \gamma }$或${\displaystyle \kappa }$表示。后者常在化学工程领域中使用，在机械工程领域中，会使用字母K表示绝热指数^[1]：

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{v}}}={\frac {c_{P}}{c_{v}}}}$

其中，${\displaystyle C}$是气体的热容，${\displaystyle c}$是气体比热容，而下标${\displaystyle P}$及${\displaystyle v}$分别表示在等压条件及等体积条件下的结果。

绝热指数也可表示为以下的形式

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P,m}}{C_{v,m}}}}$

其中，${\displaystyle C_{P,m}}$是气体的等压摩尔热容，也就是一摩尔气体的等压热容，${\displaystyle C_{v,m}}$是气体的等容摩尔热容。

绝热指数也是理想气体在等熵过程（准静态、可逆的绝热过程）下的多方指数，即以下体积和压强关系式中体积的次方：

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{const}}}$

其中 ${\displaystyle p}$ 是压力而 ${\displaystyle V}$ 是体积。

理想气体的绝热指数

理想气体的热容不随温度变化。焓及内能分别为${\displaystyle H=C_{p}T}$及${\displaystyle U=C_{V}T}$。因此绝热指数也可以视为是焓及内能的比值：

${\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}}$

理想气体的定压莫耳热容及定容莫耳热容及气体常数（${\displaystyle R}$）之间有以下的关系

${\displaystyle C_{p,m}-C_{V,m}=R\!}$

因此莫耳热容也可以用绝热指数（${\displaystyle \gamma }$）及气体常数表示：

${\displaystyle C_{p,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{,}}\qquad C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1}}}$

和自由度的关系

理想气体分子的原子数和等容摩尔热容（${\displaystyle C_{V,m}}$）、等压摩尔热容（${\displaystyle C_{p,m}}$）及绝热指数${\displaystyle \kappa }$之间的关系

	${\displaystyle C_{V,m}}$	${\displaystyle C_{p,m}}$	${\displaystyle \kappa ={\frac {C_{p,m}}{C_{V,m}}}}$
单原子气体	${\displaystyle {\frac {3}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {5}{3}}=1.{\overline {6}}}$
双原子气体	${\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {7}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {7}{5}}=1.4}$
三原子气体	${\displaystyle {\frac {6}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {8}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}=1.{\overline {3}}}$

理想气体的绝热指数（${\displaystyle \gamma }$）和分子的自由度之间，有以下的关系：

${\displaystyle \gamma \ ={\frac {f+2}{f}}\qquad {\mbox{, }}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}}$

单原子气体的自由度是3，因此绝热指数为：

${\displaystyle \gamma \ ={\frac {5}{3}}\approx 1.67}$,

双原子气体，在室温下的自由度为5（平移自由度3，旋转自由度2，室温下不考虑振动自由度），因此绝热指数为：

${\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}=1.4}$.

空气主要由双原子气体组成，包括约78%的氮气（N₂）及约21%的氧气（O₂），室温下的干燥空气可视为理想气体，因此其绝热指数为：

${\displaystyle \gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1.4}$.

以上数据和实际量测而得的数据1.403相当接近。

热力学的关系

在一些特定的工程应用中（如计算气体经过导管或阀的流速），${\displaystyle C_{p}-C_{v}=nR}$（n为莫耳数）的关系不够准确，因此定体积热容${\displaystyle C_{v}}$需要由实测求得，若依下式计算定体积热容${\displaystyle C_{v}}$，即得求得精确的绝热指数${\displaystyle {\frac {C_{p}}{C_{v}}}}$：

${\displaystyle C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}}$

其中${\displaystyle C_{p}}$的数值可以由查表求得。

上述的定义可由来推导严谨的状态方程式（例如Peng-Robinson状态方程式），这些方程式所求得的值和实测值非常接近，因此定体积热容或绝热指数可直接用方程式计算，不需查表。也可以利用有限差分法来计算其数值。

各种气体的绝热指数

各种气体的绝热指数[2][3]
温度	气体	γ		温度	气体	γ		温度	气体	γ
−181°C	H2	1.597		200°C	干空气	1.398		20°C	NO	1.400
−76°C		1.453		400°C		1.393		20°C	N2O	1.310
20°C		1.410		1000°C		1.365		−181°C	N2	1.470
100°C		1.404		2000°C		1.088		15°C		1.404
400°C		1.387		0°C	CO2	1.310		20°C	Cl2	1.340
1000°C		1.358		20°C		1.300		−115°C	CH4	1.410
2000°C		1.318		100°C		1.281		−74°C		1.350
20°C	He	1.660		400°C		1.235		20°C		1.320
20°C	H2O	1.330		1000°C		1.195		15°C	NH3	1.310
100°C		1.324		20°C	CO	1.400		19°C	Ne	1.640
200°C		1.310		−181°C	O2	1.450		19°C	Xe	1.660
−180°C	Ar	1.760		−76°C		1.415		19°C	Kr	1.680
20°C		1.670		20°C		1.400		15°C	SO2	1.290
0°C	干空气	1.403		100°C		1.399		360°C	Hg	1.670
20°C		1.400		200°C		1.397		15°C	C2H6	1.220
100°C		1.401		400°C		1.394		16°C	C3H8	1.130

参照

• 热容
• 比热容
• 音速
• 热力学方程式（英语：Thermodynamic equations）
• 热力学
• 容积热容

参考

1. Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.
2. White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
3. Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524