正则素数

正则素数是一种质数，由恩斯特·库默尔在1847年为了处理费马最后定理而引入。它具有许多种等价的定义方式。其中之一是：

定义. 素数 ${\displaystyle p}$ 是正则素数，若且唯若 ${\displaystyle p}$ 不整除分圆域 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ 的类数。此定义简单却不易计算。

另一种定义方式是：素数 ${\displaystyle p}$ 是正则素数，若且唯若 ${\displaystyle p}$ 不整除伯努利数 ${\displaystyle B_{k}\quad (2\leq k\leq p-3,2|k)}$ 的分子。

头几个正则素数为：

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS数列A007703）

库默尔证明了：当 ${\displaystyle p}$ 是正则素数时，${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$ 不存在非零整数解。最小的10个非正则素数是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS数列A000928）。 已知存在无穷多个非正则素数，而迄今仍未知是否存在无穷多个正则素数。

文献

• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.