概形论术语

这是概形论术语。欲知代数几何中概形的简介，请见条目仿射概形、射影空间、层及概形。本条目旨在列出概形论中的基本技术定义与性质。

点

一个概形 ${\displaystyle S}$ 是一个局部赋环空间，故也是拓扑空间，但“${\displaystyle S}$ 的点”具有三重涵义：

• 拓扑空间意义下的点。
• ${\displaystyle T}$-值点：对任一概形 ${\displaystyle T}$，一个 ${\displaystyle T}$-值点是指一个态射 ${\displaystyle T\to S}$。
• 几何点：当 ${\displaystyle S}$ 定义在一个域 ${\displaystyle K}$ 上时（换言之 ${\displaystyle S}$ 是 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$-概形），一个几何点乃是一个 ${\displaystyle \mathrm {Spec} ({\overline {K}})}$-值点，其中 ${\displaystyle {\overline {K}}}$ 表 ${\displaystyle K}$ 的代数闭包。

几何点是古典问题的主角，例如对复代数簇而言，通常说“点”即指几何点。拓扑空间的点包括一般点的类比（相对于扎里斯基而非韦伊的理论）。借由米田引理，考虑所有的概形 ${\displaystyle T}$ 与所有 ${\displaystyle T}$-值点，可以将概形 ${\displaystyle S}$ 理解为相应的可表函子 ${\displaystyle h_{S}}$，此观念是代数几何发展史上的一大步。

纤维

在格罗滕迪克的相对几何框架下，一态射的纤维有三重涵义：

• 一个点（拓扑意义下）的逆像。
• 两个态射的纤维积：对于仿射概形，纤维积对应到环的张量积。
• 几何纤维：设 ${\displaystyle S,S'}$ 为 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$-概形（${\displaystyle K}$ 为域），${\displaystyle f:S\to S'}$ 为一 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$-态射，${\displaystyle P:\mathrm {Spec} ({\overline {K}})\to S'}$ 为一几何点，则 ${\displaystyle P}$ 点的几何纤维定义为相应的纤维积 ${\displaystyle S\times _{S}\mathrm {Spec} ({\overline {K}})}$。

概形之性质

概形的大部分性质都是“局部的”，换言之：${\displaystyle X}$ 具有性质甲，若且唯若对其任一开覆盖 ${\displaystyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$，每个 ${\displaystyle X_{i}}$ 皆具性质甲；而通常只要对一组开覆盖验证即可。这类性质有时也被称为“扎里斯基局部”的，藉以区别对于其他格罗滕迪克拓扑的情形（如平展拓扑）。

考虑一概形 ${\displaystyle X}$ 及一组仿射开子概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} A_{i}}$ 组成的开覆盖。借此可将概形的局部性质翻译为交换环的性质。一个性质甲在上述意义下是局部的，若且唯若相应的环性质在局部化之下不变。

举例明之，局部诺特概形是能由诺特环的交换环谱覆盖的概形。由于诺特环的局部化仍为诺特环，局部诺特性确实是上述意义下的局部性质。另一个例子是既约概形，这也是局部性质，因为若一个交换环无幂零元，则其局部化亦然。

分离概形并非局部性质：任何仿射概形都是分离概形，因此任何概形都是“局部分离”的，然而存在非分离的概形。

以下是环的局部性质列表（不全），由此可定义概形的相应性质。以下令 ${\displaystyle X:=\bigcup _{i}\mathrm {Spec} A_{i}}$ 为一概形之开覆盖。

概念	定义	例子	反例
与概形结构相关者
不可约	若一连通概形 ${\displaystyle X}$ （作为拓扑空间）不能表为两个闭子集的联集，除非其中一者为 ${\displaystyle X}$，则称之为不可约概形。利用素理想与仿射概形的点的对应，可知连通概形 ${\displaystyle X}$ 不可约若且唯若每个 ${\displaystyle A_{i}}$ 恰有一个极小素理想。凡诺特概形皆可唯一表示为有限个极大不可约闭子集的联集，这些闭子集称为其不可约成份。	仿射空间、射影空间	Spec k[x,y]/(xy) =
既约	环 ${\displaystyle A_{i}}$ 皆为既约环（即：无幂零元素），等价的说法是结构层 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 没有幂零的局部截面。代数几何的一大进步是将代数簇推广为概形，而概形可能是非既约的。	代数簇 （根据定义）	k[x]/(x2)
整	不可约的既约概形称作整概形。等价的说法是：该概形可由整环的谱覆盖。严格地说，这只在连通概形上才是局部性质。	Spec k[t]/f, f 为不可约多项式	Spec A ⊕ B. (A, B ≠ 0)
正规	若每个 ${\displaystyle A_{i}}$ 都是整闭的，则称 ${\displaystyle X}$ 为正规概形。	正则概形、带有理奇点的曲面	带奇点的曲线
与正则性相关者
正则	若每个 ${\displaystyle A_{i}}$ 都是正则局部环，则称 ${\displaystyle X}$ 为正则概形。	域上的平滑代数簇	Spec k[x,y]/(x2+x3-y3)=
Cohen-Macaulay	若 ${\displaystyle X}$ 的局部环皆是Cohen-Macaulay环，则称 ${\displaystyle X}$ 为 Cohen-Macaulay 概形。	正则概形、 Spec k[x,y]/(xy)
与“大小”相关者
局部诺特	每个 ${\displaystyle A_{i}}$ 皆为诺特环。如果此外更要求该覆盖为有限覆盖，则该概形称为诺特概形。	古典代数几何的大部分对象	${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$
链	若 ${\displaystyle X}$ 的任两个不可约闭子概形 ${\displaystyle Y\subset Z}$ 之间的极大链都有相同长度，则称 ${\displaystyle X}$ 为链概形，这在局部上对应于链环。整链概形的维度是局部性质。	代数几何的大部分对象	见条目链环中的反例

态射之性质

格罗滕迪克的基本理念之一是强调“相对”性，亦即置重点于态射的性质。概形范畴有一终对象 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$，所以任何概形可以唯一地理解为 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$-概形，借此可以从态射性质定义概形本身的性质。

以下令

${\displaystyle f:Y\to X}$

为概形间的态射。一如既往，以下的性质也是局部的，即：若存在开覆盖 ${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$ 使得 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$ 上的限制带有该性质，则 ${\displaystyle f}$ 本身也带该性质。

与拓扑结构相关的概念

若一个态射在拓扑空间上是开映射，则称此态射为开态射；闭态射的定义类似。平坦态射皆为开态射。

若 ${\displaystyle f(Y)}$ 在 ${\displaystyle X}$ 中稠密，则称此态射为优势态射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。对于仿射概形，优势态射对应到环的单射同态。

开浸入与闭浸入

• 开浸入：若 ${\displaystyle f}$ 同构于一个开子概形的包含映射，则称之为开浸入。
• 闭浸入：若 ${\displaystyle f}$ 同构于一个闭子概形的包含映射，则称之为闭浸入。闭浸入在局部上对应到环的商同态。闭浸入可以如下刻划：${\displaystyle f:Y\to X}$ 是闭浸入，若且唯若 ${\displaystyle f}$ 在拓扑空间的意义下是个闭浸入（${\displaystyle f:Y\to f(Y)}$ 是同胚，且 ${\displaystyle f(Y)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 中的闭集），而且 ${\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ 是满射。
• 浸入：闭浸入与开浸入的合成。

开浸入仅关乎拓扑，而闭浸入则与结构层有关。概形的闭子集可以带有多种闭子概形结构，其中存在一个始对象，使得其结构层不含幂零元，称为该闭子集对应的既约子概形。

仿射态射与射影态射

若 ${\displaystyle X}$ 的仿射开子概形对 ${\displaystyle f}$ 的逆像仍为仿射概形，则称 ${\displaystyle f}$ 为仿射态射。用较炫的说法：仿射态射系来自 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-代数的整体 ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$ 构造，这是整体版本的交换环谱。例子包括向量丛。

射影态射的定义类似，此时对应到分次 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-代数的整体 ${\displaystyle \mathbf {Proj} }$ 构造，另一种等价的刻划是： ${\displaystyle f}$ 是射影态射，若且唯若它可分解为闭浸入 ${\displaystyle Y\to \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times X}$ 及自然投影 ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}\to X}$。

分离态射与真态射

主条目：分离态射

主条目：真态射

• 分离态射：使得对角态射 ${\displaystyle \Delta _{Y/X}:Y\to Y\times _{X}Y}$ 为闭浸入的态射，此概念对应到拓扑学中的豪斯多夫空间。
• 真态射：即满足下列性质的态射
  • 分离态射
  • 泛闭（即：任一闭浸入 ${\displaystyle s:Z\to X}$ 在对 ${\displaystyle f}$ 取纤维积后仍为闭浸入）
  • 有限型

有限型、拟有限与有限态射

若 ${\displaystyle X}$ 有一组仿射开覆盖 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}}$，使得态射 ${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})\to \mathrm {Spec} \,A_{i}}$ 对应到 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{i}\to \mathrm {Spec} \,A_{i}}$，使得 ${\displaystyle B_{i}}$ 是有限 ${\displaystyle A_{i}}$-模，则称此态射为有限态射。

若将上述条件改为：${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})}$ 有一组仿射开覆盖 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}}$ ，使得 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}}$ 是有限生成的 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}}$-代数，则称此态射为局部有限型态射；若上述开覆盖 ${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})=\bigcup _{j}\mathrm {Spec} \,B_{ij}}$ 可取为有限的，则称之有限型态射。代数几何中探讨的多数态射都是有限型态射。

若 ${\displaystyle f}$ 的纤维都是有限的，且是有限型态射，则称之为拟有限态射。有限态射皆为拟有限态射。

平坦态射

若 ${\displaystyle f}$ 在结构层的茎上给出平坦同态，则称之为平坦态射。视此态射为一族以 ${\displaystyle X}$ 的点为参数的概形，则平坦性可诠释为纤维在变形下的某些良好性质，例如希尔伯特多项式的不变性。

非分歧态射与平展态射

主条目：平展态射

对一点 ${\displaystyle y\in Y}$，考虑相应的环同态：

${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}.}$

令 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$ 的极大理想，并设

${\displaystyle {\mathfrak {n}}:=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$

若对所有 ${\displaystyle y\in Y}$，${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ 的极大理想，且导出的映射 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$ 是有限、可分的代数扩张，则称此态射为非分歧态射。

平坦的非分歧态射称为平展态射，此外尚有多种等价定义。在代数簇的情形，平展态射恰好是在切空间上导出同构的态射，这正好是微分几何中平展态射的定义。

平滑态射

主条目：平滑态射

平滑态射对应到拓扑学中的塞尔纤维化映射，在代数几何中有多种定义：

• ${\displaystyle f:Y\to X}$ 是有限型平坦态射，且 ${\displaystyle \Omega _{Y/X}^{1}}$ 是局部自由 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-模，其秩为 ${\displaystyle \dim Y-\dim X}$。
• ${\displaystyle f:Y\to X}$ 可分解为某个平展态射 ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {A} _{X}^{n}}$ 及自然投影 ${\displaystyle p:\mathbb {A} _{X}^{n}\to X}$ 之合成。
• 形式判准：对任何交换环 ${\displaystyle A}$ 及其理想 ${\displaystyle I}$，并满足 ${\displaystyle I^{2}=(0)}$，则 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A),Y)\to \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A/I),Y)}$ 是满射。

外部链接

• Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong

文献

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）. 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228 [2022-01-03]. （原始内容存档于2016-03-06）. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
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