椭圆算子

椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。

定义在环形上的拉普拉斯方程上的一个解。拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子。

椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。双曲（英语：Hyperbolic partial differential equation）方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。

定义

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$域${\displaystyle \Omega }$上的线性微分算子${\displaystyle L}$

${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u}$

被称为椭圆算子，如果对任意${\displaystyle x\in \Omega }$，任意非零${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$满足

${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0}$。

在许多应用中仅满足上述条件还远远不够，当${\displaystyle m=2k}$时可用一致椭圆条件代替它： ${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}$ 其中C是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。

非线性算子

${\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}}$

是椭圆算子如果它关于${\displaystyle u}$的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。

实例：二阶算子

为了说明问题，我们选取二阶偏微分算子形式，

${\displaystyle P\phi =\sum _{k,j}a_{kj}D_{k}D_{j}\phi +\sum _{\ell }b_{\ell }D_{\ell }\phi +c\phi }$

其中${\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}}$.如果满足高阶项系数矩阵x

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}$

为正定实系数对称矩阵，则这样的算子叫做椭圆算子。

参看

• 数学主题

• 抛物偏微分方程
• 外尔引理