棣莫弗公式

棣莫弗公式（英语：de Moivre's formula）是一个关于复数和三角函数的公式，命名自法国数学家亚伯拉罕·棣美弗（1667年－1754年）。其内容为对任意实数${\displaystyle x}$和整数${\displaystyle n}$，下列性质成立：

${\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

复平面上的立方根等于1.

其中${\displaystyle i}$是虚数单位（${\displaystyle i^{2}=-1}$）。值得注意的是，尽管本公式以棣美弗本人命名，他从未直接地将其发表过^[1]。为了方便起见，我们常常将${\displaystyle \cos x+i\sin x}$合并为另一个三角函数cis(x)，也就是说：

${\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)}$

在操作上，我们常常限制${\displaystyle x}$属于实数，这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把${\displaystyle \cos(nx)}$和${\displaystyle \sin(nx)}$变化为${\displaystyle \cos x}$和${\displaystyle \sin x}$的形式。另外，尽管棣美弗公式限制${\displaystyle n}$须为整数，但倘若适当推广本公式，便可将${\displaystyle n}$拓展到非整数的领域。

证明

（证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。）

令${\displaystyle P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ),n\in \mathbb {N} }$

（1）当${\displaystyle n=0}$时，显然成立。

（2）当${\displaystyle n=1}$时：

左式 ${\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{1}=\cos \theta +i\sin \theta =\cos(1\cdot \theta )+i\sin(1\cdot \theta )=}$ 右式

因此，${\displaystyle P(1)}$成立。

（3）当${\displaystyle n>1}$时：

假设${\displaystyle P(k)}$成立，即${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos(k\theta )+i\sin(k\theta )}$

当${\displaystyle n=k+1}$时：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta +i\sin k\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta +i\sin k\theta \cdot i\sin \theta )+(\cos k\theta \cdot i\sin \theta +i\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta )+i(\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&\ {\overset {1}{=}}\cos(k\theta +\theta )+i\sin(k\theta +\theta )\\&\ =\cos[(k+1)\theta ]+i\sin[(k+1)\theta ]\\\end{aligned}}}$

等号1处使用和角公式。

因此，${\displaystyle P(k+1)}$也成立。

综上所述，根据数学归纳法，${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle P(n)}$成立。

另外，由恒等式：

${\displaystyle (\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ))\cdot (\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))=1}$

可知，公式对于负整数情况也成立。

证毕。

检定

最简单的方法是应用欧拉公式^[2]。

由于${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,}$

所以${\displaystyle {\color {Green}(\cos x+i\sin x)^{n}}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=e^{i(nx)}={\color {Green}\cos(nx)+i\sin(nx)}}$

用棣莫弗公式求根

此定理可用来求单位复数的 ${\displaystyle n}$ 次方根。设 ${\displaystyle |z|=1}$，表为

${\displaystyle z=\cos \theta +i\sin \theta }$

若 ${\displaystyle w^{n}=z}$，则 ${\displaystyle w}$ 也可以表成：

${\displaystyle w=\cos \phi +i\sin \phi }$

按照棣莫弗公式：

${\displaystyle w^{n}=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi =\cos \theta +i\sin \theta =z}$

于是得到

${\displaystyle n\phi =\theta +2k\pi }$（其中 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$）

也就是：

${\displaystyle \phi ={\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}}$

当 ${\displaystyle k}$ 取 ${\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}$，我们得到 ${\displaystyle n}$ 个不同的根：

${\displaystyle w=\cos({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}})+i\sin({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}),k=0,1,\ldots ,n-1}$

参考资料

1. Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444.
2. 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-19）.