构造演算

构造演算(CoC)是高阶有类型 lambda 演算，这里的类型是一级值。因此在 CoC 内有可能定义从整数到类型、从类型到类型的函数，同从整数到整数的函数一样。CoC 是强规范化的。

CoC 最初由 Thierry Coquand 开发。

CoC 是 Coq 定理证明器早期版本的基础；它后来的版本建造在归纳构造演算之上，这是带有对归纳数据类型的天然支持的 CoC 扩展。在最初的 CoC 中，归纳数据类型必须模拟为它们的多态解构函数。

构造演算的基础

构造演算可以被当作 Curry-Howard同构的扩展。Curry-Howard 同构把在简单类型 lambda 演算中项关联上在直觉命题逻辑中自然演绎证明。构造演算扩展了这个同构为在完全的直觉谓词逻辑中的证明，这包括了量化陈述（它也叫做"命题"）的证明。

项

在构造演算中项使用如下规则构造：

• T 是项（也叫做类型）
• P 是项（也叫做命题，所有命题的类型）
• 变量 ${\displaystyle x,y,z...}$ 是项
• 如果 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 是项，则如下也是项
  • ${\displaystyle \mathbf {(} AB)}$
  • (${\displaystyle \mathbf {\lambda } x:A.B}$)
  • (${\displaystyle \forall x:A.B}$)

构造演算有 5 种对象类型：

1. 证明，它是其类型都是命题的那些项
2. 命题，也叫做小类型
3. 谓词，它是返回命题的函数
4. 大类型，它是谓词的类型。（P 是大类型的例子）
5. T 自身，它是大类型的类型。

判断

在构造演算中，判断是类型推理：

${\displaystyle x_{1}:A_{1},x_{2}:A_{2},\ldots \vdash t:B}$

它可以被读作蕴涵

如果变量 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ 分别有类型 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$，则项 ${\displaystyle t}$ 有类型 ${\displaystyle B}$。

构造演算的有效判断是从推理规则集合可推导的。在下面，我们使用 ${\displaystyle \Gamma }$ 来指示类型指派的序列 ${\displaystyle x_{1}:A_{1},x_{2}:A_{2},\ldots }$，并使用 K 来指示要么 P 要么 T。我们将写 ${\displaystyle A:B:C}$ 来指示“${\displaystyle A}$ 有类型 ${\displaystyle B}$，和 ${\displaystyle B}$ 有类型 ${\displaystyle C}$”。我们将写 ${\displaystyle B(x:=N)}$ 来指示用项 ${\displaystyle N}$ 代换在项 ${\displaystyle B}$ 中变量 ${\displaystyle x}$ 的结果。

推理规则用如下形式写成

${\displaystyle {\Gamma \vdash A:B} \over {\Gamma '\vdash C:D}}$

它指示着

如果 ${\displaystyle \Gamma \vdash A:B}$ 是有效判断，则 ${\displaystyle \Gamma '\vdash C:D}$ 也是。

构造演算的推理规则

1. ${\displaystyle {{} \over {}\vdash P:T}}$
   
   
2. ${\displaystyle {\Gamma \vdash A:K \over {\Gamma ,x:A\vdash x:A}}}$
   
   
3. ${\displaystyle {\Gamma ,x:A\vdash t:B:K \over {\Gamma \vdash (\lambda x:A.t):(\forall x:A.B):K}}}$
   
   
4. ${\displaystyle {\Gamma \vdash M:(\forall x:A.B)\qquad \qquad \Gamma \vdash N:A \over {\Gamma \vdash MN:B(x:=N)}}}$

定义逻辑运算

构造演算在引入基本算子的时候是非常简约的：唯一形成命题的逻辑算子是 ${\displaystyle \forall }$。但是，这个唯一的算子足够定义所有其他逻辑算子：

${\displaystyle {\begin{matrix}A\Rightarrow B&\equiv &\forall x:A.B&(x\notin B)\\A\wedge B&\equiv &\forall C:P.(A\Rightarrow B\Rightarrow C)\Rightarrow C&\\A\vee B&\equiv &\forall C:P.(A\Rightarrow C)\Rightarrow (B\Rightarrow C)\Rightarrow C&\\\neg A&\equiv &\forall C:P.(A\Rightarrow C)&\\\exists x:A.B&\equiv &\forall C:P.(\forall x:A.(B\Rightarrow C))\Rightarrow C&\end{matrix}}}$

定义数据类型

在构造演算中可以定义计算机科学中使用的基本数据类型：

布尔

${\displaystyle \forall A:P.A\Rightarrow A\Rightarrow A}$

自然数

${\displaystyle \forall A:P.(A\Rightarrow A)\Rightarrow (A\Rightarrow A)}$

乘积 ${\displaystyle A\times B}$

${\displaystyle A\wedge B}$

不交并 ${\displaystyle A+B}$

${\displaystyle A\vee B}$

参见

• Curry-Howard同构
• 直觉逻辑
• 直觉类型论
• Lambda 演算
• Lambda立方体
• 系统F
• 有类型 lambda 演算

引用

• Thierry Coquand and Gerard Huet: The Calculus of Constructions. Information and Computation, Vol. 76, Issue 2-3, 1988.
• For a source freely accessible online, see Coquand and Huet: The calculus of constructions。Technical Report 530, INRIA, Centre de Rocquencourt, 1986.
• M. W. Bunder and Jonathan P. Seldin: Variants of the Basic Calculus of Constructions （页面存档备份，存于互联网档案馆）。2004.