算符

在物理学领域里，算符（operator）亦称算子、运算子^[1]，有别于数学的算子，其作用于物理系统的状态空间，使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂，需要用很多方程式来表明，假若能够使用算符来代表，可以更为简单扼要地表达论述。

对于很多案例，假若作用的对象有所迥异，算符的物理行为也会不同；但是，对于有些案例，算符的物理行为具有一般性，这时，就可以将论题抽象化，专注于研究算符的物理行为，不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此，在经典力学里，算符是很有用的工具。在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素。

对于更深奥的理论研究，可能会遇到很艰难的数学问题，算符理论（operator theory）能够提供高功能的架构，使得数学推导更为简洁精致、易读易懂，更能展现出内中物理涵意。

一般而言，在经典力学里的算符大多作用于函数，这些函数的参数为各种各样的物理量，算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”，作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。

经典力学

在经典力学里，粒子（或一群粒子）的动力行为是由拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)}$或哈密顿量${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$决定；其中，${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})}$、${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})}$分别是广义坐标、广义速度，${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}}$是共轭动量，${\displaystyle t}$是时间。

假设拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$或哈密顿量${\displaystyle {\mathcal {H}}}$与某广义坐标${\displaystyle q_{i}}$无关，则当${\displaystyle q_{i}}$有所改变时，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$或${\displaystyle {\mathcal {H}}}$仍旧会保持不变，这意味著粒子的动力行为也会保持不变，对应于${\displaystyle q_{i}}$的共轭动量${\displaystyle p_{i}}$守恒。对于广义坐标${\displaystyle q_{i}}$的改变，动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里，当研读有关对称性的课题时，算符是很有用的工具。

特别而言，假设对于某种群${\displaystyle G}$的变换运算，物理系统的哈密顿量是个不变量；也就是说，假设${\displaystyle S\in G}$，

${\displaystyle S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$。

在这案例里，所有${\displaystyle G}$的元素${\displaystyle S}$都是物理算符，能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态；尽管${\displaystyle S}$作用于这物理系统，哈密顿量守恒不变。

举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符”${\displaystyle T_{a}}$能够将粒子从坐标为${\displaystyle q_{i}}$移动至坐标为${\displaystyle q_{i}+a}$，以方程式表示：

${\displaystyle T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)}$；

其中，${\displaystyle f(q_{i})}$是描述一群粒子的密度函数。

给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统，则尽管${\displaystyle T_{a}}$的作用，这物理系统的哈密顿量${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是个不变量，对应于坐标${\displaystyle q_{i}}$的动量${\displaystyle p_{i}}$守恒。

经典力学算符表格

算符	标记	位置	动量
平移算符	${\displaystyle T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
时间演化算符	${\displaystyle U(\Delta t)}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)}$
旋转算符	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
伽利略变换算符	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
宇称算符	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
时间反演算符	${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

• ${\displaystyle R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )}$是旋转矩阵，${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$是旋转轴向量，${\displaystyle \theta }$是旋转角弧。

生成元概念

对于一个微小的平移变换，猜测平移算符的形式为

${\displaystyle T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A}$；

其中，${\displaystyle I}$是“单位算符”──变换群的单位元，${\displaystyle \epsilon }$是微小参数，${\displaystyle A}$是专门用来设定平移变换群的生成元。

为了简化论述，只考虑一维案例，推导平移于一维空间的生成元。将平移算符${\displaystyle T_{\epsilon }}$作用于函数${\displaystyle f(x)}$：

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )}$。

由于${\displaystyle \epsilon }$很微小，可以泰勒近似${\displaystyle f(x-\epsilon )}$为

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)}$。

重写平移算符的方程式为

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)}$；

其中，导数算符${\displaystyle \mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$是平移群的生成元。

总结，平移群的生成元是导数算符。

指数映射

在正常状况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做${\displaystyle N}$次微小平移变换${\displaystyle T_{a/N}}$，来代替一个有限值为${\displaystyle a}$的平移变换${\displaystyle T_{a}}$ ：

${\displaystyle T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)}$。

现在，让${\displaystyle N}$变得无穷大，则因子${\displaystyle a/N}$趋于无穷小：

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)}$。

这表达式的极限为指数函数：

${\displaystyle T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)}$。

核对这结果的正确性，将指数函数泰勒展开为幂级数：

${\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)}$。

这方程式的右手边可以重写为

${\displaystyle f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots }$。

这正是${\displaystyle f(x-a)}$的泰勒级数，也是${\displaystyle T_{a}f(x)}$的原本表达式结果。

物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容，请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力学

在量子力学里，算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定，态向量是向量空间的单位范数向量。在向量空间内，量子算符作用于量子态，使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变，量子算符必须是厄米算符^{[来源请求]}。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为本征态，称此乘法数值为本征值。^[2]:11-12

物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量，都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量的结果只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈机率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。^[3]:106-109

量子算符

假设，物理量${\displaystyle O}$是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符${\displaystyle {\hat {O}}}$可能有很多不同的本征值${\displaystyle O_{i}}$与对应的本征态${\displaystyle |e_{i}\rangle }$，这些本征态${\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots }$，形成了具有正交归一性的基底：^[3]:96-99

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$；

其中，${\displaystyle \delta _{ij}}$是克罗内克函数。

假设，某量子系统的量子态为

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }$是复系数，是在${\displaystyle |e_{i}\rangle }$里找到${\displaystyle |\psi \rangle }$的机率幅。^[2]:50

测量这动作将量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$改变为本征态${\displaystyle |e_{i}\rangle }$的机率为${\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}}$，测量结果是本征值${\displaystyle O_{i}}$的机率也为${\displaystyle p_{i}}$。

期望值

主条目：期望值

在量子力学里，重复地做同样实验，通常会得到不同的测量结果，期望值是理论平均值，可以用来预测测量结果的统计平均值。

采用狄拉克标记，对于量子系统的量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，可观察量${\displaystyle O}$的期望值${\displaystyle \langle O\rangle }$定义为^[2]:24-25

${\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }$；

其中，${\displaystyle {\hat {O}}}$是对应于可观察量${\displaystyle O}$的算符。

将算符${\displaystyle {\hat {O}}}$作用于量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，会形成新量子态${\displaystyle |\phi \rangle }$：

${\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle }$。

从左边乘以量子态${\displaystyle \langle \psi |}$，经过一番运算，可以得到

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

所以，每一个本征值与其机率的乘积，所有乘积的代数和，就是可观察量${\displaystyle O}$的期望值：

${\displaystyle \langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}}$。

将上述定义式加以推广，就可以用来计算任意函数${\displaystyle F(O)}$的期望值：

${\displaystyle \langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle }$。

例如，${\displaystyle F({\hat {O}})}$可以是${\displaystyle {\hat {O}}^{2}}$，即重复施加算符${\displaystyle {\hat {O}}}$两次：

${\displaystyle \langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle }$。

对易算符

主条目：对易算符

假设两种可观察量${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$的算符分别为${\displaystyle {\hat {A}}}$、${\displaystyle {\hat {B}}}$，它们的对易算符定义为

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$。

对易算符是由两种算符组合而成的复合算符，当作用于量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$时，会给出

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle }$。

假设${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$，则称这两种可观察量为“相容可观察量”，否则，${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0}$，称这两种可观察量为“不相容可观察量”。

假设两种可观察量为不相容可观察量，则由于不确定原理，绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题，不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验，装备足够优良的测量仪器，则对于某些量子系统，测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。^[4]

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实值，因此，可观察量${\displaystyle O}$的期望值是实值：

${\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}}$。

对于任意量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，这关系都成立：

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}}$。

根据伴随算符的定义，假设${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$是${\displaystyle {\hat {O}}}$的伴随算符，则${\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle }$。因此，

${\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }}$。

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。^[3]:96-99

矩阵力学

应用基底的完备性，添加单位算符${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|}$于算符${\displaystyle {\hat {O}}}$的两旁，可以得到^[2]:20-23

${\displaystyle {\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|}$；

其中，${\displaystyle O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle }$是求和式内每一个项目的系数。

所以，量子算符可以用矩阵形式来代表：

${\displaystyle {\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}}$ 。

算符${\displaystyle {\hat {O}}}$与它的伴随算符${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$彼此之间的关系为

${\displaystyle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}}$。

所以，分别代表这两个算符的两个矩阵，彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符，代表的矩阵是个实值的对称矩阵。

用矩阵代数来计算算符${\displaystyle {\hat {O}}}$怎样作用于量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，假设系统因此变换为量子态${\displaystyle |\phi \rangle }$：

${\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle }$。

从左边乘以本征态${\displaystyle \langle e_{i}|}$，应用基底的完备性，添加单位算符${\displaystyle {\hat {I}}}$于算符的右边，可以得到

${\displaystyle \langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle }$。

右矢${\displaystyle |\phi \rangle }$、${\displaystyle |\psi \rangle }$分别用竖矩阵来代表

${\displaystyle |\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}}$ 、　　　　${\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}}$ 。

两个竖矩阵彼此之间的关系为

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}}$ 。

假设算符${\displaystyle {\hat {O}}}$是厄米算符，则其所有本征态都相互正交。^[5]以矩阵来代表算符，可以计算出一组本征值与对应的本征态，每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质，可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式，就可以找到本征值${\displaystyle \lambda }$：

${\displaystyle \det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0}$。

量子算符表格

在这表格里，算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间，则表示出的方程式会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符，不是单位向量。

算符名称	直角坐标系分量表示	向量表示
位置算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} }$
动量算符	一般状况 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}$	一般状况 ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$
	电磁场 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}$	电磁场（${\displaystyle \mathbf {A} }$是磁向量势） ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$
动能算符	平移运动 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$	平移运动 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}_{x}+{\hat {T}}_{y}+{\hat {T}}_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}}}$
	电磁场 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}}$	电磁场（${\displaystyle \mathbf {A} }$是磁向量势） ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}}$
	旋转运动（${\displaystyle I}$是转动惯量） ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}}$	旋转运动 ${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}}$
势能算符	N/A	${\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)}$
总能量算符	N/A	含时位势： ${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ 不含时位势： ${\displaystyle {\hat {E}}=E}$
哈密顿算符	N/A	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}}$
角动量算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla }$
自旋算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}$ 其中， ${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ 是自旋1/2粒子的包立矩阵。	${\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}}$ 其中，向量${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$的分量是包立矩阵。
总角动量算符	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}$
跃迁矩（电） （transition moment）	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=qx\\{\hat {d}}_{y}&=qy\\{\hat {d}}_{z}&=qz\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {r} }$

范例

位置算符

主条目：位置算符

只思考一维问题，将位置算符${\displaystyle {\hat {x}}}$施加于位置本征态${\displaystyle |x\rangle }$，可以得到本征值${\displaystyle x}$，即粒子的位置：^[6]:220-221

${\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }$。

由于位置基底具有完整性，${\displaystyle {\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x}$，任意量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$可以按著位置本征态形成的基底展开：

${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

将位置算符${\displaystyle {\hat {x}}}$施加于量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，由于算符${\displaystyle {\hat {x}}}$只作用于右矢${\displaystyle |x\rangle }$，与其它数学个体无关，可以移入积分式内：

${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

左矢${\displaystyle \langle \psi |}$与这方程式的内积为

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

设定量子态${\displaystyle |\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle }$。由于位置基底具有完整性，${\displaystyle {\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x}$，量子态${\displaystyle \langle \psi |}$与${\displaystyle |\alpha \rangle }$的内积，可以按著位置本征态形成的基底展开为

${\displaystyle \langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x}$。

将这两个积分式加以比较，立刻可以辨识出全等式

${\displaystyle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle }$。

设定量子态${\displaystyle |\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle }$。量子态${\displaystyle |\Psi \rangle }$、${\displaystyle |\psi \rangle }$的位置空间表现，即波函数，分别定义为

${\displaystyle \Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle }$、

${\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle }$。

两个波函数${\displaystyle \Psi (x)}$、${\displaystyle \psi (x)}$之间的关系为

${\displaystyle \Psi (x)=x\psi (x)}$。

总结，位置算符${\displaystyle {\hat {x}}}$作用于量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$的结果${\displaystyle |\Psi \rangle }$，表现于位置空间，等价于波函数${\displaystyle \psi (x)}$与${\displaystyle x}$的乘积${\displaystyle \Psi (x)}$。

动量算符

表现于位置空间，一维动量算符为

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$。

将动量算符${\displaystyle {\hat {p}}}$施加于量子态${\displaystyle |\psi \rangle }$，可以得到类似前一节得到的结果：

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle }$。

应用位置基底所具有的完整性，对于任意量子态${\displaystyle |\phi \rangle }$，可以得到更广义的结果：

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle \phi (x)=\langle x|\phi \rangle }$、${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$分别是量子态${\displaystyle |\phi \rangle }$、${\displaystyle |\psi \rangle }$表现于位置空间的波函数。

假设${\displaystyle |\psi \rangle }$是${\displaystyle {\hat {p}}}$的本征态，本征值为${\displaystyle p}$，则可得到

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle }$。

将${\displaystyle |\psi \rangle }$改写为本征值为${\displaystyle p}$的本征态${\displaystyle |p\rangle }$，方程式改写为

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle }$。

这微分方程式的解析解为

${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }}$。

所以，动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛丁格方程式，就可以推导求得这出结果。^[2]:50-54

参阅

• 有界算符
• 表示论
• 算子

参考文献

1. Kittel charles著,洪连辉等译，固态物理学导论，第681页。
2. Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
3. Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
4. Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358
5. Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
6. 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台湾: 天下文化书: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2 引文格式1维护：冗余文本 (link)