星形截角截半立方体

星形截角截半立方体（stellatruncated cuboctahedron）是指经过星形截角的截半立方体，又称为大截角截半立方体（great truncated cuboctahedron）。星形截角截半立方体是一种非凸均匀多面体，由26个面、72条边和48个顶点组成^[1][2]，具有八面体群对称性^[1]。对偶多面体为大四角化菱形十二面体（英语：Great disdyakis dodecahedron）。^[3]

星形截角截半立方体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大四角化菱形十二面体（英语：Great disdyakis dodecahedron）
识别
名称	星形截角截半立方体 stellatruncated cuboctahedron great truncated cuboctahedron quasitruncated cuboctahedron
参考索引	U20, C67, W93
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	quitco
性质
面	26
边	72
顶点	48
欧拉特征数	F=26, E=72, V=48 （χ=2）
组成与布局
面的种类	12个正方形 8个正六边形 6个八角星
顶点图	4.6/5.8/3
对称性
对称群	Oh, [4,3], (*432)
图像
4.6/5.8/3 （顶点图） 大四角化菱形十二面体（英语：Great disdyakis dodecahedron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

星形截角截半立方体共由26个面、72条边和48个顶点组成，在其48个面中，有12个正方形、8个正六边形和6个八角星，其中八角星的种类与星形截角立方体的八角星面相同，皆为施莱夫利符号记为{8/3}的八角星；^[4]:145星形截角截半立方体的6个八角星面与正八面体6个顶点面排列相同。12个正方形面中每3个正方形互相交叉并产生三角形的开口，每个正方形面皆有2次这种相交。这些三角形开口的侧面是彼此互相相交的六边形面。^[4]:145

在构成星形截角截半立方体的48个顶点中，每个顶点都是八角星、正方形和正六边形的公共顶点，在顶点布局中可以用8/3,4,6来表示。^[5]

分类

由于星形截角截半立方体的顶点图为不等边三角形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，并可以透过星形正多面体进行广义截角来构造，因此星形截角截半立方体是一种自相交截角拟正多面体（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角拟正多面体一共有五种，分别为立方截角立方八面体、星形截角截半立方体、二十面截角十二面十二面体、截角截半大十二面体和大截角截半二十面体。^[6]这些立体由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）和约翰·皮奇（Johann Pitsch）于1881年发现并描述。^[7][8]

尺寸

若星形截角截半立方体的边长为单位长，则其48个顶点为${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {2{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}$的全排列^[9]，共6组，每组正负号组合共8个。^[10]

以这些顶点构成的星形截角截半立方体，外接球半径为：^[11]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {13-6{\sqrt {2}}}}{2}}}$

二面角

若星形截角截半立方体有三种二面角，分别为六边形和正方形的二面角、八角星和六边形的二面角以及八角星和正方形的二面角。^[12]

其中，六边形和正方形的二面角的值为三分之六平方根的反馀弦值，约35.26度：^[12]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 0.6154797\approx 35.264389683^{\circ }}$

八角星和六边形的二面角的值为三分之三平方根的反馀弦值，约54.7度：^[12]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {3}}{3}}\approx 0.9553166\approx 54.735610317^{\circ }}$

八角星和正方形的二面角的值为负二分之二平方根的反馀弦值，为135度：^[12]

${\displaystyle \cos ^{-1}\left({-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}\right)=135^{\circ }}$

凸包

星形截角截半立方体的凸包是一种非均匀的大斜方截半立方体。其包含了两种不同的边长，比例为${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}}$。^[13]

• 
  星形截角截半立方体的凸包
• 
  星形截角截半立方体

正交投影

相关多面体

星形截角截半立方体与大斜方截半立方体拓朴同构。若将星形截角截半立方体的八角星面替换成八边形面，就会转变成大斜方截半立方体。^[9]

• 
  星形截角截半立方体
• 
  大斜方截半立方体

参见

• 均匀多面体

参考文献

1. Maeder, Roman. 20: great truncated cuboctahedron. MathConsult. [2021-09-11]. （原始内容存档于2020-02-17）.
2. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 5: Omnitruncates. polytope.net. 2012 [2021-09-11]. （原始内容存档于2018-07-02）. quasitruncated cuboctahedron. Symbol is xx"x. Faces are 6 octagrams, 8 hexagons, and 12 squares
3. Weisstein, Eric W. (编). Great Disdyakis Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
5. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra. tic. 2002, 2 (4): 3.
6. David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-19]. （原始内容存档于2022-02-14）.
7. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
8. Johann Pitsch. Über Halbreguläre Sternpolyeder. Zeitschrift für das Realschulwesen. 1881, (6): 9–24, 64–65, 72–89, 216.
9. Klitzing, Richard. quasitruncated cuboctahedron, great truncated cuboctahedron, stellatruncated cuboctahedron : quitco. bendwavy.org. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-01-23）.
10. David I. McCooey. Data of Great Truncated Cuboctahedron. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-09-11）.
11. Weisstein, Eric W. (编). Great Truncated Cuboctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
12. David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra: Great Truncated Cuboctahedron. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2018-03-13）.
13. Klitzing, Richard. variation of girco, hull of quitco : q3x4x. bendwavy.org. [2021-09-05]. （原始内容存档于2016-07-09）.