无条件收敛

在数学中，一个级数${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}a_{i}}$无条件收敛于一个特定值${\displaystyle \beta }$，是指对任意小的差别${\displaystyle \epsilon }$，都会存在${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {I}}}$中的一个子集${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$，使得对所有的包含${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$的集合${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {T}}}$，里面的元素加起来的和与${\displaystyle \beta }$之间的差距都小于${\displaystyle \epsilon }$。

${\displaystyle \left|\sum _{i\in {\mathcal {T}}}a_{i}-\beta \right|\leq \epsilon }$

当集合${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {I}}}$是可数集合的时候，无条件收敛等价于说“任意排列级数项的顺序都会收敛”，具体来说。一个级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$无条件收敛于一个特定值${\displaystyle \beta }$，当且仅当对任意的从自然数到自然数的置换${\displaystyle \sigma }$，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$都收敛。

当${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {I}}}$是不可数的集合时，无条件收敛也称为网收敛。

定义

设${\displaystyle X}$为一个拓扑向量空间，${\displaystyle I}$为一个指标集，满足对任意${\displaystyle i\in I}$，${\displaystyle x_{i}\in X}$。

级数${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$被称为无条件收敛到${\displaystyle x\in X}$的，如果：

• 指标集${\displaystyle I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}}$是可数集；
• 任意${\displaystyle I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}}$的排列满足下列关系：${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=x}$.

与绝对收敛的关系

无条件收敛是定义在装备了距离的赋范向量空间中定义的。在赋范向量空间中还有另外一类收敛，称为绝对收敛。绝对收敛的定义是：一个级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$绝对收敛，当且仅当实数列：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|}$

收敛。

对于通常的实数级数或复数级数，无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维的巴拿赫空间中，两者也是等价的概念。而对于更一般的情况，绝对收敛能够推出无条件收敛，但反之无条件收敛并不能推出绝对收敛。

参见

• 收敛
• 绝对收敛
• 条件收敛

参考来源

• Ch. Heil: 基底理论入门 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 张贤科,许甫华. 《高等代数学》. 清华大学出版社. 2004. ISBN 978-7-302-08227-9.
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