微分

提示：此条目的主题不是微分学。

函数的微分（英语：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由${\displaystyle y}$是${\displaystyle x}$的函数(${\displaystyle y=f(x)}$)。从简单的平面直角坐标系来看，自变量${\displaystyle x}$的变化量趋近于0时(${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$)，因变量${\displaystyle y}$的变化量也趋近于0，但${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的变化量都趋近于0。当${\displaystyle x}$有极小的变化量时，这称为${\displaystyle x}$的微分。

当某些函数${\displaystyle \textstyle f}$的自变量${\displaystyle \textstyle x}$有一个微小的改变${\displaystyle \textstyle h}$时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量${\displaystyle \textstyle h}$，可以表示成${\displaystyle \textstyle h}$和一个与${\displaystyle \textstyle h}$无关，只与函数${\displaystyle \textstyle f}$及${\displaystyle \textstyle x}$有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在${\displaystyle \textstyle h}$上的值。

另一部分是比${\displaystyle \textstyle h}$更高阶的无穷小，也就是说除以${\displaystyle \textstyle h}$后仍然会趋于零。当改变量${\displaystyle \textstyle h}$很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在${\displaystyle \textstyle x}$处的微分，记作${\displaystyle \displaystyle f'(x)h}$或${\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)}$。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量${\displaystyle \textstyle h}$映射到变化量的线性部分的线性映射${\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分

定义

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量${\displaystyle {\textrm {d}}y}$，而${\displaystyle {\textrm {d}}y}$加上灰线部分后是实际的改变量${\displaystyle \Delta y}$

设函数${\displaystyle y=f(x)}$在某区间${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内有定义。对于${\displaystyle {\mathcal {I}}}$内一点${\displaystyle x_{0}}$，当${\displaystyle x_{0}}$变动到附近的${\displaystyle x_{0}+\Delta x}$（也在此区间内）时，如果函数的增量${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$可表示为 ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}$（其中${\displaystyle A}$是不依赖于${\displaystyle \Delta x}$的常数），而${\displaystyle o(\Delta x)}$是比${\displaystyle \Delta x}$高阶的无穷小，那么称函数${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x_{0}}$是可微的，且${\displaystyle A\Delta x}$称作函数在点${\displaystyle x_{0}}$相应于自变量增量${\displaystyle \Delta x}$的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}y}$，即${\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x}$，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$是${\displaystyle \Delta y}$的线性主部。^[1]:141

通常把自变量${\displaystyle x}$的增量${\displaystyle \Delta x}$称为自变量的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}x}$，即${\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}$。

和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念^[1]:141。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分${\displaystyle {\textrm {d}}x}$，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数${\displaystyle y=f(x)}$的微分又可记作${\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x}$^[2]。

几何意义

设${\displaystyle \Delta x}$是曲线${\displaystyle y=f(x)}$上的点${\displaystyle P}$在横坐标上的增量，${\displaystyle \Delta y}$是曲线在点${\displaystyle P}$对应${\displaystyle \Delta x}$在纵坐标上的增量，${\displaystyle {\textrm {d}}y}$是曲线在点${\displaystyle P}$的切线对应${\displaystyle \Delta x}$在纵坐标上的增量。当${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$很小时，${\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|}$比${\displaystyle \left|\Delta x\right|}$要小得多(高阶无穷小)，因此在点${\displaystyle P}$附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子

设有函数${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$，考虑它从某一点${\displaystyle x}$变到${\displaystyle x+{\textrm {d}}x}$。这时，函数的改变量${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)}$等于：

${\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}}$

${\displaystyle =2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)}$

其中的线性主部：${\displaystyle Adx=2xdx}$，高阶无穷小是${\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}$。 因此函数${\displaystyle \textstyle f}$在点${\displaystyle \textstyle x}$处的微分是${\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x}$。函数的微分与自变量的微分之商${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)}$，等于函数的导数。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}}$，尤其${\displaystyle y=ax^{n}}$

${\displaystyle =nax^{(n-1)}}$

以下有一例子： 当方程式为${\displaystyle y=2x^{2}}$时，就会有以下的微分过程。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle =2\cdot 2x^{(2-1)}}$

${\displaystyle =4x}$

微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数${\displaystyle u}$、${\displaystyle v}$可微，那么：

• ${\displaystyle \mathrm {d} (au+bv)=\mathrm {d} au+\mathrm {d} bv=a\mathrm {d} u+b\mathrm {d} v}$
• ${\displaystyle d(uv)=udv+vdu}$
• ${\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}$
• 若函数${\displaystyle y(u)}$可导，那么${\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du}$^[1]:139

极值

主条目：极值

多元函数微分

主条目：全微分

当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只对单一自变量微分），但仍然有微分的概念。

定义

设${\displaystyle f}$是从欧几里得空间Rⁿ（或者任意一个内积空间）中的一个开集${\displaystyle \Omega }$射到R^m的一个函数。对于${\displaystyle \Omega }$中的一点${\displaystyle x}$及其在${\displaystyle \Omega }$中的邻域${\displaystyle \Lambda }$中的点${\displaystyle x+h}$。如果存在线性映射${\displaystyle A}$使得对任意这样的${\displaystyle x+h}$,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0}$

那么称函数${\displaystyle f}$在点${\displaystyle x}$处可微。线性映射${\displaystyle A}$叫做${\displaystyle f}$在点${\displaystyle x}$处的微分，记作${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$。

如果${\displaystyle f}$在点${\displaystyle x}$处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点${\displaystyle x}$都有微分${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$时，可以考虑将${\displaystyle x}$映射到${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$的函数：

${\displaystyle {\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}}$

这个函数一般称为微分函数^[3]。

性质

• 如果${\displaystyle f}$是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
• 在Rⁿ（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设${\displaystyle f}$是从Rⁿ射到R^m的函数，${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}$，那么：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$。

具体来说，对于一个改变量：${\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}}$，微分值：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}}$

• 可微的必要条件：如果函数${\displaystyle f}$在一点${\displaystyle x_{0}}$处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$都存在，但反之不真^[4]:76。
• 可微的充分条件：如果函数${\displaystyle f}$在一点${\displaystyle x_{0}}$的雅克比矩阵的每一个元素${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$都在${\displaystyle x_{0}}$连续，那么函数在这点处可微，但反之不真^[4]:77。

例子

函数${\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}$是一个从${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$射到${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的函数。它在某一点${\displaystyle (x,y)}$的雅可比矩阵为：

${\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}}$

微分为：${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)}$，也就是：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}}$

微分与微分形式

主条目：微分形式

如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点${\displaystyle x}$给出一个近似描述函数性质的线性映射${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$，而微分形式对区域${\displaystyle \mathbf {D} }$内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：${\displaystyle \omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R} }$。在坐标记法下，可以写成：

${\displaystyle \omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}$

其中的${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i}}$是${\displaystyle i}$-射影算子，也就是说将一个向量${\displaystyle v}$射到它的第${\displaystyle i}$个分量${\displaystyle v^{i}}$的映射。而${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}}$是满足：

${\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}}$

的k-形式。

特别地，当${\displaystyle f}$是一个从Rⁿ射到R 的函数时，可以将${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}}$写作：

${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}}$

正是上面公式的一个特例^[5]。

参见

• 微分学
• 微积分
• 导数
• 积分
• 偏导数
• 外微分
• 泰勒公式

参考来源

1. 欧阳光中 姚允龙 周渊 编. 《数学分析（上册）》. 复旦大学出版社. 2003. ISBN 7309035704.
2. 梁子杰. 「可微」還是「可導」？ (PDF). 数学教育.^{[永久失效链接]}
3. 微分函数. 逢甲大学网路教学实验室. [2009-12-24]. （原始内容存档于2010-05-07）.
4. 徐森林,薛春华. 《数学分析(第二册)》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0.
5. B.A.卓里奇 著，蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨 译. 《数学分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1.第175-183页.

• 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0.
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.