平行公设

平行公设（英语：Parallel postulate），也称为欧几里得第五公设，因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说：

如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

如果α和β的内角和小于180°，则两直线不断延伸，在这一侧相交。

假定所有欧几里得公设（当中包括平行公设）都成立的几何称为欧几里得几何。假定平行公设不成立的称为非欧几里得几何。不依赖于平行公设的几何，也就是只假设前四条公设的，称为仿射几何。^[1] 这只是一个与平行线的性质有关的公设。欧几里得已在《几何原本》第I卷定义第23条中定义过平行线了。^[2]。

欧几里得几何的有些性质与平行公设等价，也就是假设平行公设成立，可推导出这些性质，反过来假设这些性质的一项为公理，也可以推导出平行公设。其中最重要的一项，也是最常作为公理代替平行公设的，要算是苏格兰数学家约翰·普莱费尔提出的普莱费尔公理：

给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。

这里有个问题要提出来，即在证明第五公设时，平面是不加定义，如果平面作如下定义：满足第五公设的面定义为平面。这实际上可用公理法对平面作定义。如果有这定义，第五公设是自明的。这才符合直观。

历史

很多人尝试用前四条公设证明平行公设都不成功，反而创造了违反平行公设的双曲几何。最后由意大利数学家贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）证明了平行公设独立于前四条公设。

等价命题

很多命题看似与平行线无关，实则与平行公设等价。有些性质看似很明显，因而被一些声称证明了平行公设的人不经意用到了。这里是一些命题：

1. 三角形内角和为两直角。
2. 所有三角形的内角和都相等。
3. 存在一对相似但不全等的三角形。
4. 所有三角形都有外接圆。
5. 若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。
6. 存在一对等距的直线。
7. 平行满足递移性，即若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。

参考文献

1. non-Euclidean geometries （页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Dr. Katrina Piatek-Jimenez （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. Euclid's Elements, Book I, Definition 23. [2017-09-19]. （原始内容存档于2017-07-07）.