尼姆游戏
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尼姆游戏（英语：Nim），又译为拈，是一种两个人玩的回合制数学战略游戏。游戏者轮流从几排棋子（或者任何道具）中选择一排，再由这一排中取走一个或者多个，依规则不同，拿走最后一个的可能是输家，也有可能是赢家。当指定相应数量时，一堆这样的棋子称作一个尼姆堆。古代就有许多尼姆游戏的变体[1]。最早欧洲有关尼姆游戏的参考资料是在16世纪，目前使用的名称是由哈佛大学的Charles L. Bouton命名，他也在1901年提出了此游戏的完整理论[2]，不过没有说明名称的由来。
尼姆游戏最常见的玩法是拿到最后一个棋子的人输（misère game）。尼姆游戏也可以改为拿到最后一个棋子的人赢（normal play）。大部份类似的游戏都是最后一个棋子的人赢，不过这不是尼姆游戏最常见的玩法。不论哪一种玩法，只要刚好剩下一排的棋子是二个或二个以上（其他排可能没有棋子，或是只有一个），下一个游戏者可以轻易的获胜。下一个游戏者可以将数量最多的这排棋子全部拿走或只留一个。剩下的各排都只有一个棋子。 若是misère版本，下一个游戏者下完之后，只要留下奇数排就会胜利，若是normal版本，下一个游戏者下完之后，只要留下偶数排就会胜利。
normal版本的尼姆游戏（也就是尼姆数系统）是斯普莱格–格隆第定理的基础，其中提到在normal版本中，每一个normal版本的无偏博弈（从任何一个局势出发，双方可以采取完全相同的行动，也就是说棋盘上没有颜色的区分）都等价于一个特定大小的尼姆堆。所有的normal版本的无偏博弈都可以给与尼姆值，但misère版本的就不一定。只有温驯游戏才能用misère版本尼姆的策略来进行。尼姆游戏是一种特殊的偏序游戏，其中的偏序关系包括了不交集的全序关系（堆）。三排棋子尼姆游戏的演进图和Ulam-Warburton自动机演进图的三个分支相同[3]。
normal版本是由二位游戏者一起玩，有三排棋子，各排的棋子为任意正整数。二位游戏者轮流选一排棋子，拿走上面至少一个棋子，也可以拿同一排的多个棋子。normal版本的目的是要拿到最后一个棋子。misère版本的目的就是要让对方被迫拿走最后一个棋子（拿到最后一个棋子的人输）。
以下是normal版本的游戏，由爱丽丝与鲍伯二个人玩，三排棋子分别有三个、四个及五个棋子。
| 各排数量 A B C |
走法 |
| 3 4 5 | 鲍伯从A排拿走2个棋子 |
| 1 4 5 | 爱丽丝从C排拿走3个棋子 |
| 1 4 2 | 鲍伯从B排拿走1个棋子 |
| 1 3 2 | 爱丽丝从B排拿走1个棋子 |
| 1 2 2 | 鲍伯拿走所有A排的棋子，只剩下二排，各有2个 |
| 0 2 2 | 爱丽丝从B排拿走1个棋子 |
| 0 1 2 | 鲍伯从C排拿走1个棋子，只剩下二排，各有1个 （若是misère版本，会从C排拿走2个棋子，留下(0, 1, 0)） |
| 0 1 1 | 爱丽丝拿走B排的1个棋子 |
| 0 0 1 | 鲍伯拿走所有C排的棋子，鲍伯胜利。 |
尼姆游戏的策略就是在拿完棋子后，使棋子个数符合以下任何一个组态，接下来再轮到时，一定可以再拿走适当数量的棋子，使棋子个数仍符合以下任何一个组态。normal版本和misere版本的差别只在最后一两步，前面都相同：
| 2排 | 3排 | 4排 |
|---|---|---|
| 1 1 * | 1 1 1 ** | 1 1 1 1 * |
| 2 2 | 1 2 3 | 1 1 n n |
| 3 3 | 1 4 5 | 1 2 4 7 |
| 4 4 | 1 6 7 | 1 2 5 6 |
| 5 5 | 1 8 9 | 1 3 4 6 |
| 6 6 | 2 4 6 | 1 3 5 7 |
| 7 7 | 2 5 7 | 2 3 4 5 |
| 8 8 | 3 4 7 | 2 3 6 7 |
| 9 9 | 3 5 6 | 2 3 8 9 |
| n n | 4 8 12 | 4 5 6 7 |
| 4 9 13 | 4 5 8 9 | |
| 5 8 13 | n n m m | |
| 5 9 12 | n n n n |
*只在normal版本有效
**只在misere版本有效
其中有出现n和m，是任何正整数，n和m可以相同。
尼姆游戏在数学上是已解游戏，针对任意排数及个数的初始状态都已有解法，而且有简单的方式可以判断哪一个游戏者会胜利，并且此游戏者要如何取子才会胜利。
这游戏理论的关键是在各排个数在二进制下XOR位操作的结果，此操作也称为是在GF(2)中的向量加法（在模数2以下的位元加法）。在组合博弈论中常称为是“尼姆和”（nim-sum），以下也使用此一名称。x和y的尼姆和会写成x ⊕ y，以和一般的和区别x + y。像3, 4, 5的尼姆和计算如下：
| 二进制 | 十进制 | 备注 |
| 0112 | 310 | A排 |
| 1002 | 410 | B排 |
| 1012 | 510 | C排 |
| 0102 | 210 | 三排数字的尼姆和，3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2 |
另一个等效，比较容易心算的作法，是将三排的个数分别表示为相异二次幂的和，再设法消除成对的次幂，再将最后留下的数字相加即可：
3 = 0 + 2 + 1 = 2 1 A排 4 = 4 + 0 + 0 = 4 B排 5 = 4 + 0 + 1 = 4 1 C排 -------------------------------------------------------------------- 2 = 2 1和4都消去了, 剩下的是2
在normal版本（拿到最后一个棋子的赢）中，胜利的策略就是在取走棋子后，使尼姆和为0。只要取走棋子前，尼姆和不为0，一定有办法取走部份棋子使尼姆和为0。另一个游戏者无论怎么拿，取走棋子后尼姆和都不会为0。以此策略，只要在取棋子时照策略进行，一定会胜利。要找到要拿走的棋子，可以令X是原来各排棋子数的尼姆和，游戏策略是要分别计算各排棋子数和X的尼姆和(Yi)，找到尼姆和(Yi)比该排棋子数少的那一排，接下来就要取走这一排的棋子，使该排棋子数等于该行的尼姆和(Yi)。以上例中，原来各排棋子数的尼姆和是X = 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2。A=3、B=4、C=5且X=2，因此得到
因此下一步是取走A排的棋子，使其数量变1（拿走二个棋子）。
有一个特别简单的例子，是只剩二排的情形，其策略是在个数较多的那牌拿走部份棋子，使两者数量相同。接下来对手不论怎么下，都继续使二排的数量相同，最后即可胜利。
若是玩misère版本。前面的策略都一样，只到只剩一排的棋子超过一个（二个或二个以上）时才有不同。此时的策略都是针对超过一个棋子的那排棋子取子，使留下来的每一排都只有一个棋子。接下来玩的人只能从这几排中选一排拿走。取子可能是那排全部取完，或是只剩一个，视游戏版本而定，在玩misère版本（拿到最后一个棋子的输）时，要使留下来的排数是单数（因此对方会拿到最后一个棋子），在玩normal版本游戏时，要使留下来的排数是偶数。（因此自己会拿到最后一个棋子）。
以下是棋子数分别是3, 4, 5个，在misère版本的玩法：
| A | B | C | 尼姆和 | 下法 |
| 3 | 4 | 5 | 0102=210 | 我从A排拿走2个，使剩下的尼姆和为0 |
| 1 | 4 | 5 | 0002=010 | 你从C排拿走2个 |
| 1 | 4 | 3 | 1102=610 | 我从B排拿走2个 |
| 1 | 2 | 3 | 0002=010 | 你从C排拿走1个 |
| 1 | 2 | 2 | 0012=110 | 我从A排拿走1个 |
| 0 | 2 | 2 | 0002=010 | 你从C排拿走1个 |
| 0 | 2 | 1 | 0112=310 | 我将B排的都拿走，只留下C排（使剩下的排数是奇数） （若是normal版本，我会从C排拿走1个，使剩下的排数是偶数） |
| 0 | 0 | 1 | 0012=110 | 你从C排拿走1个，也是最后一个，你输 |
上述的策略可以写成程式，以下就是Python的范例：
import functools
MISERE = 'misere'
NORMAL = 'normal'
def nim(heaps, game_type):
"""Computes next move for Nim, for both game types normal and misere.
if there is a winning move:
return tuple(heap_index, amount_to_remove)
else:
return "You will lose :("
- mid-game scenarios are the same for both game types
>>> print(nim([1, 2, 3], MISERE))
misere [1, 2, 3] You will lose :(
>>> print(nim([1, 2, 3], NORMAL))
normal [1, 2, 3] You will lose :(
>>> print(nim([1, 2, 4], MISERE))
misere [1, 2, 4] (2, 1)
>>> print(nim([1, 2, 4], NORMAL))
normal [1, 2, 4] (2, 1)
- endgame scenarios change depending upon game type
>>> print(nim([1], MISERE))
misere [1] You will lose :(
>>> print(nim([1], NORMAL))
normal [1] (0, 1)
>>> print(nim([1, 1], MISERE))
misere [1, 1] (0, 1)
>>> print(nim([1, 1], NORMAL))
normal [1, 1] You will lose :(
>>> print(nim([1, 5], MISERE))
misere [1, 5] (1, 5)
>>> print(nim([1, 5], NORMAL))
normal [1, 5] (1, 4)
"""
print(game_type, heaps, end=' ')
is_misere = game_type == MISERE
is_near_endgame = False
count_non_0_1 = sum(1 for x in heaps if x > 1)
is_near_endgame = (count_non_0_1 <= 1)
# nim sum will give the correct end-game move for normal play but
# misere requires the last move be forced onto the opponent
if is_misere and is_near_endgame:
moves_left = sum(1 for x in heaps if x > 0)
is_odd = (moves_left % 2 == 1)
sizeof_max = max(heaps)
index_of_max = heaps.index(sizeof_max)
if sizeof_max == 1 and is_odd:
return "You will lose :("
# reduce the game to an odd number of 1's
return index_of_max, sizeof_max - int(is_odd)
nim_sum = functools.reduce(lambda x, y: x ^ y, heaps)
if nim_sum == 0:
return "You will lose :("
# Calc which move to make
for index, heap in enumerate(heaps):
target_size = heap ^ nim_sum
if target_size < heap:
amount_to_remove = heap - target_size
return index, amount_to_remove
if __name__ == "__main__":
import doctest
doctest.testmod()
以下是必胜策略的证明，由C. Bouton所提出。
定理：在normal版本的尼姆游戏中，第一个玩家有必胜的策略，若且唯若各排棋子数的尼姆和不为零。否则，第二个玩家有必胜的策略。
证明：注意尼姆和（⊕）遵守一般加法的结合律及交换律，还有另外一个性质x ⊕ x = 0。
令x1, ..., xn是移动前的各排棋子数，y1, ..., yn是移动后的各排棋子数。令 s = x1 ⊕ ... ⊕ xn且 t = y1 ⊕ ... ⊕ yn。若这次是移动第k排的棋子，可得xi = yi针对所有 i ≠ k，且xk > yk。依照⊕的性质，可得
t = 0 ⊕ t
= s ⊕ s ⊕ t
= s ⊕ (x1 ⊕ ... ⊕ xn) ⊕ (y1 ⊕ ... ⊕ yn)
= s ⊕ (x1 ⊕ y1) ⊕ ... ⊕ (xn ⊕ yn)
= s ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ (xk ⊕ yk) ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0
= s ⊕ xk ⊕ yk
(*) t = s ⊕ xk ⊕ yk.
此定理会由以下二个引理推导而来。
引理1：若s = 0，则无论如何移动，接下来t ≠ 0。
证明：若没有任何可以移动的棋子，此引理空虚的真（依定义，接下来要玩的游戏者输，因为在他前一手的游戏者拿了最后一个棋子）。否则，任何k排的移动都会因为(*)，造成 t = xk ⊕ yk。因为xk ≠ yk，上述数字不为0。
引理2：若s ≠ 0，有可能让t = 0.
证明：令d是s二进位表示法中最左边１的位置，选择k使xk的第d位元也不是零。（这个k一定存在，不然s的第d位元都是零了） 令yk = s ⊕ xk，可以声称 yk < xk：xk和yk所有d左边的位元都相同，d位元从1变为0（数值减少2d），剩下位元的变化最多是2d−1。因此接下来的游戏者可以在第k'排拿走xk− yk个棋子，则
t = s ⊕ xk ⊕ yk (by (*)) = s ⊕ xk ⊕ (s ⊕ xk) = 0.
misère版本的策略刚刚已经看过，只有在只剩一排的棋子是二个或二个以上时才不同。在这种情形s ≠ 0，接下来玩的人有必胜策略，若是normal版本，就是设法留下偶数排的棋子，每排都只有一个棋子，misère版本则反过来，设法留下奇数排的棋子，每排都只有一个棋子。
在1939年纽约世界博览会中，西屋电气有展示一个机器，会玩尼姆游戏的Nimatron[4]。自1940年的5月11日到10月27日为止，在六周的周期内只有少数的人可以打败Nimatron：若他们胜了，会得到一个称为Nim Champ的硬币[5][6]。尼姆游戏也是最早电脑化的游戏。Ferranti曾制作可以玩尼姆游戏的Nimrod电脑，在1951年的英国节上展示。1952年时，W. L. Maxon公司的工程师Herbert Koppel、 Eugene Grant和Howard Bailer开发了重达23千克（50英磅）的机器，可以和人玩尼姆游戏，而且多半会赢[7]。Tinkertoy也可以制作尼姆游戏机[8]。
尼姆游戏是马丁·加德纳在《科学美国人》（Scientific American）杂志中，1958年2月〈数学游戏专栏〉的主题。在1961年法国新浪潮电影《去年在马伦巴》中，有玩过特定版本的尼姆游戏，而且有象征的重要性[9]。
另一个有点类似的游戏称为subtraction game，会先列出总数，以及每一次可以拿走的最大数量。可能每一次只能拿走1个、2个...至k个。例如在《Survivor: Thailand》节目中的Thai 21，就是k = 3的版本。
若棋子只有一排，共有n个棋子，其必胜策略当且仅当
21游戏一般会用拿到最后一个棋子的人输的玩法。可以有数个游戏者参与。第一个游戏者说1，其他的游戏者可以在前一个人的数字加1,2或是3。数到21的游戏者输。若是二个游戏者玩，有必胜的策略，就是让加完的数字维持是4的倍数。这可以使另一方最后一定会数到21。
21游戏的数字也可以修改，例如改为“最多加5，数到34的人输”。
以下是一个21游戏的例子，第二个游戏者使用必胜的策略：
遊戲者 數字 1 1 2 4 1 5, 6 或 7 2 8 1 9, 10 或 11 2 12 1 13, 14 或 15 2 16 1 17, 18 或 19 2 20 1 21
另一个类似的游戏是100游戏：从0开始加，每一次可以加1到10之间的任一个整数，数到100的人胜利。必胜的策略是抢到类似01、12、23、34……、89的数字，接下来另一游戏者不论加多少，都设法抢到下一个01、12、23、34……、89的数字（因为这些数字之间的差是11，不论对方加1到10之间的哪一个数字，都可以可以再加数字，使二人加的数字总计为11）。只要到89之后，接下来不论对方加多少，都可以再加数字使结果为100，因此必胜。
另一个版本的尼姆，是允许在每一排中取走相同数量的棋子。
另一种尼姆的变体是循环尼姆，将一定数量的棋子摆成圆形，二个游戏者轮流取棋子，可以取相邻的一个、二个或三个棋子。以下是一个例子：
. . . . . . . . . .
一开始取走三个棋子
_ . . . . . . . _ _
接下来又取走三个棋子
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又拿走一个棋子
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最后剩下三个棋子，但是不相邻，无法一次取走。
Grundy游戏也是尼姆游戏的变体，一开始有一排特定数量的棋子，游戏者要轮流将某一排棋子分为二排数量不同，且都不为0的棋子。例如6个棋子可以分为5+1、4+2，但不能分为3+3。此游戏可以让最后一个人赢或是输。
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