定常系统

在经典力学里，如果一个系统的所有约束都是定常约束（scleronomous constraint），则称此系统为定常系统（scleronomous system）。定常约束显性地不含时间。假若约束显性地含时间，则称此约束为非定常约束。

应用

主要项目：广义速度

在三维空间里，一个质量为${\displaystyle m}$、速度为${\displaystyle \mathbf {v} }$的粒子的动能是

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$。

速度是位置${\displaystyle \mathbf {r} }$对于时间${\displaystyle t}$的导数。应用偏微分连锁律，可以得到

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}}$；

其中，${\displaystyle q_{i}}$是第${\displaystyle i}$个广义坐标，${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$是对应的广义速度。

所以，

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\sum _{i}\ \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}}$。

将方程式展开^[1]，动能可以分为三个项目表示：

${\displaystyle T=T_{0}+T_{1}+T_{2}}$；

其中，

${\displaystyle T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}}$，

${\displaystyle T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}}$，

${\displaystyle T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!}$。

${\displaystyle T_{0}}$、${\displaystyle T_{1}}$、${\displaystyle T_{2}}$分别为广义速度${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统，位置不显性地含时间，${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0}$，则只有${\displaystyle T_{2}}$不等于零。所以，${\displaystyle T=T_{2}}$，动能是广义速度的2次齐次函数。

实例1：单摆

单摆

如右图所示，单摆是由一个摆锤与一条绳子组成的简单机械；绳子的上端固定，下端系著摆锤。由于这绳子是无法伸缩的，绳子的长度是常数。所以，这系统是定常系统；它遵守定常约束

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0}$；

其中，${\displaystyle (x,\ y)}$是摆锤的位置，${\displaystyle L}$是摆长。

实例2：受驱摆

单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动。

参考右图，假设一个单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动：

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\cos \omega t}$；

这里，${\displaystyle x_{0}}$是振幅，${\displaystyle \omega }$是角频率，${\displaystyle t}$是时间。

由于无法伸缩绳子的长度是常数，摆锤与绳子上端的直线距离保持不变。但是，因为单摆的绳子上端受到简谐运动的驱动，这个受驱摆系统是非定常系统；它遵守非定常约束

${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0}$。

参阅

• 拉格朗日力学
• 完整系统
• 非定常系统
• 单演系统
• 保守系统