多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态分布向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。
N维随机向量如果服从多变量正态分布,必须满足下面的三个等价条件:
- 任何线性组合服从正态分布。
- 存在随机向量( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量及 矩阵满足.
- 存在和一个对称半正定阵满足的特征函数
如果是非奇异的,那么该分布可以由以下的概率密度函数来描述:[1]
注意这里的表示协方差矩阵的行列式。
- 二元的情况
在二维非奇异的情况下(k = rank(Σ) = 2),向量 [X Y]′ 的概率密度函数为:
其中 ρ 是 X 与 Y 之间的相关系数, 且 。在这种情况下,