外测度

在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。

从长度，面积及体积归纳出来的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数${\displaystyle \varphi }$,使其满足以下4个条件：

1. 任意实数区间 ${\displaystyle [a,b]}$有测度${\displaystyle b-a}$；
2. 测度函数 ${\displaystyle \varphi }$是非负扩展实数值函数，定义在${\displaystyle \mathbb {R} }$的所有子集合上；
3. 平移不变性：任给集合${\displaystyle A}$和实数${\displaystyle x}$，${\displaystyle A}$与${\displaystyle A+x}$ 有相同的测度(这里，${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$）；
4. 可数可加律：对${\displaystyle X}$的任意的两两无交的子集序列${\displaystyle \{A_{j}\}}$，有：

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})}$。

事实上，这几条要求是不相容的。这样的测度函数 ${\displaystyle \varphi }$不能定义在${\displaystyle \mathbb {R} }$的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。

定义

外测度是从 ${\displaystyle X}$ 的幂集合映到 ${\displaystyle [0,\infty ]}$的函数

${\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]}$

且满足以下条件：

• 空集合的外测度为零：

${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$

• 单调性：

${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)}$

• 次可加性: 对 X 的任意子集序列 ${\displaystyle \{A_{j}\}}$（不管两两交集是否空集合）

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})}$

接著可以借由外测度来定义 X 中的可测集合：子集合 ${\displaystyle E\subseteq X}$ 是 ${\displaystyle \varphi }$-可测的，当且仅当对 ${\displaystyle X}$ 的任意子集合 ${\displaystyle A}$ 有：

${\displaystyle \varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).}$

所有的 ${\displaystyle \varphi }$-可测集合构成了一个${\displaystyle \sigma }$-代数 ，且如果 ${\displaystyle \varphi }$限制在我们刚定义的可测集合上时，${\displaystyle \varphi }$ 会有可数可加的完备测度性质。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。

外测度与拓扑学

假设 ${\displaystyle (X,d)}$是一个度量空间且 ${\displaystyle \varphi }$是一个在 ${\displaystyle X}$之上的外测度。若 ${\displaystyle \varphi }$有以下性质 ：

只要

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

就有

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

那么称${\displaystyle \varphi }$是一个度量外测度。

如果${\displaystyle \varphi }$是${\displaystyle X}$上的度量外测度，那么${\displaystyle X}$的每个Borel子集都是${\displaystyle \varphi }$-可测的。

外测度的构造

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令${\displaystyle X}$为一集合，${\displaystyle C}$是${\displaystyle X}$的包含空集的子集族，${\displaystyle p}$是${\displaystyle C}$上的非负扩展实数值函数，且${\displaystyle p}$ 在空集处取零。

那么定义

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}}$

则${\displaystyle \varphi }$是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 ${\displaystyle (X,d)}$是一个度量空间，${\displaystyle C}$是${\displaystyle X}$的包含空集的子集族，${\displaystyle p}$是${\displaystyle C}$上的非负扩展实数值函数，且${\displaystyle p}$在空集处取零。那么，对任意${\displaystyle \delta >0}$，令

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

及

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

对${\displaystyle \delta \leq \delta '}$有${\displaystyle \varphi _{\delta }\geq \varphi _{\delta '}}$ 成立，因为${\displaystyle \delta }$减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

存在（可能是无穷大）。

这样构造的${\displaystyle \varphi _{0}}$是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

参考

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950

• M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953