垂线偏差(英语:Vertical deflection)指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异,也即重力异常矢量的方向。[1]垂线偏差可以表示为当地天文坐标与地理坐标之间的差异,其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定,而后者是天文坐标投影到椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。[2]
数学表达
设 为大地水准面上一点,其所处的垂线方向为 ,通过重力测量方式测得的天文坐标为 。将其沿参考椭球面的法线 投影至椭球面上的点 ,得到其地理坐标为 。在实际测量过程中,常以其在南北方向(即子午圈方向)上的投影 和其在东西方向(即卯酉圈方向)上的投影 描述:
设 点处测量得到的真实重力矢量为 ,而 点处计算得到的正常重力矢量为 ,则 点处的重力异常矢量为:[1]
又设 点处测量得到的正常重力矢量为 ,则 点处的重力扰动矢量为:[1]
大地水准面高即为两点间的距离 ,垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点 ,垂线偏差在此平面内的分量 与大地水准面高 和大地水准面上的弧微分 存在如下几何关系:
习惯上取沿法线向下的方向为正,因此上式中的 为负值。又因垂线偏差的分量 是微小量,即 ,因此上式也可写成:
再以地球平均半径 替代点 在各法截面上的曲率半径,得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为
分别取垂直面分别与子午圈平行(即 )和与卯酉圈平行(即 ),得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为:[2]
参见
参考文献
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