圆内接多边形

在几何学中，圆内接多边形是指存在外接圆的多边形，且该外接圆能使多边形的所有顶点都位于该圆的边界上，换句话说若这个多边形的所有顶点都能位于同一个圆上，则可称其为圆内接多边形。所有的三角形都是圆内接多边形，而四边形以上的多边形则不一定。若一四边形的四个顶点都在同一个圆上则称为圆内接四边形。

一个圆内接五边形

圆内接多边形的对偶多边形为圆外切多边形。此外，所有正多边形都是圆内接多边形。

性质

若一个奇数边数的圆内接多边形，若其所有角度都相等时，则其为正多边形，反之亦然。而若圆内接多边形的边数为偶数，且其所有角度都相等时，则其棱会交错相等，反之亦然^[1]。

圆内接五边形

一个面积为7392的罗宾斯五边形（英语：Robbins pentagon）。

若一圆内接五边形的边长和面积皆为有理数，该五边形称为罗宾斯五边形（英语：Robbins pentagon）。目前已知的所有罗宾斯五边形对角线长也皆为有理数^[2]。

圆内接四边形

主条目：圆内接四边形

在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度^[3]。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。相对的两内角互补是圆内接四边形的充分必要条件，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四边形是圆内接四边形（四边形四顶点共圆或说有四边形有外接圆）。

点到顶点顶点距离

设${\displaystyle A}$为圆内接多边形，其为一个n边形，而其顶点分别为${\displaystyle A_{1},\cdots ,A_{n}}$，并位于单位圆上，则对位于弧${\displaystyle A_{1}A_{n}}$上的任意点${\displaystyle M}$，从顶点到${\displaystyle M}$的距离满足^{[4]:p.190,#332.10}：

${\displaystyle {\begin{cases}MA_{1}+MA_{3}+\dots +MA_{n-2}+MA_{n}<{\frac {n}{\sqrt {2}}}\quad {\text{if}}\,n\,{\text{is odd}};\\MA_{1}+MA_{3}+\dots +MA_{n-3}+MA_{n-1}\leq {\frac {n}{\sqrt {2}}}\quad {\text{if}}\,n\,{\text{is even}}.\end{cases}}}$

参见

• 圆内接四边形
• 双心多边形
• 圆外切多边形

参考文献

1. De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.
2. Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A., Cyclic polygons with rational sides and area, Journal of Number Theory, 2008, 128 (1): 17–48 [2018-11-18], MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005, （原始内容存档于2018-11-12）.
3. 欧几里得，《几何原本》第三章，命题22 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Cyclic Polygon. MathWorld.