四角锥数

在数学中，四角锥数，或金字塔数，是一个有形数表示有多少球堆积成一个金字塔（四角锥，如右图)，这是以正方形为基础（底面为正方形）。

${\displaystyle {{{{1}+{4}}+{9}}+{16}}=30}$是四角锥数

四角锥数（square pyramidal number）如右图所示，第一层+第二层+第三层+第四层每层都是正方形数合起来是正四角锥，也就是正方形数的级数。

例：1、 5（=1+4）、 14（=1+4+9）、 30（=1+4+9+16）、 55（=1+4+9+16+25）

用炮弹堆成的金字塔存放在法国斯特拉斯堡历史博物馆（英语：Musée historique de Strasbourg）。球的数量就是四角锥数, 55。

计算方式与公式

前几个四角锥数是：

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...（OEIS数列A000330）。

这些数字可以表示为一个公式：

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}}$。

这是冯哈伯公式的一个特例，可以用数学归纳法来证明。

和其他有形数的关系

四角锥数也可以表示成二项式系数的和：

${\displaystyle P_{n}={{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}}$

两个四角锥数的总和是一个八面体数。

参见

• 四角数
• 四角锥

参考文献和资料来源

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A.（Eds.）. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55. 1964: 813. ISBN 0486612724.
• Beiler, A. H. Recreations in the Theory of Numbers. Dover. 1964: 194. ISBN 0486210960.
• Goldoni, G. A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two. The Mathematical Intelligencer. 2002, 24 (4): 67–69.
• Sigler, Laurence E.（trans.）. Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 260–261. ISBN 0-387-95419-8.
• OELS:A000330

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Square Pyramidal Number. MathWorld.