否定后件

在经典逻辑中，否定后件（拉丁语：modus tollens）有如下论证形式：

如果P，则Q。

非Q。

所以，非P。

它也可也被认为是否定结论，是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与归谬法 (Proof by contradiction)（假设命题的否定成立，证明这会导致矛盾）或者反证法 (Proof by contrapositive)（证明如果P则Q，通过证明如果非Q则非P的方法实现）相混淆。

例子

归谬法的例子如下：

• 假定${\displaystyle G}$是一个有限循环群，且${\displaystyle G}$是单群，则${\displaystyle G}$的阶为质数。
• 也就是说，
• 若${\displaystyle G}$的阶不是质数，则${\displaystyle G}$不是有限循环群，或者${\displaystyle G}$不是单群。
• 证明：
  • 假定原论述不成立，那么就表示“${\displaystyle G}$的阶不是质数”是错的
  • 也表示说“若${\displaystyle G}$的阶不是质数，则${\displaystyle G}$不是有限循环群，或者${\displaystyle G}$不是单群。”是错的
  • 这就表示“有个集合${\displaystyle G}$是有限循环群，且${\displaystyle G}$是单群”，而且“${\displaystyle G}$的阶不是质数”
  • 现在假定${\displaystyle G}$的阶是${\displaystyle n}$，生成元是${\displaystyle a}$，${\displaystyle G}$单位元则记做${\displaystyle e}$，因此有${\displaystyle e=a^{n}}$
  • 由于${\displaystyle G}$是循环群，因此${\displaystyle G}$且${\displaystyle a}$是生成元，因此${\displaystyle G}$的所有元素都可表示成${\displaystyle a^{k}}$的形式，其中${\displaystyle 0\leq k<n}$；又${\displaystyle n}$不是不是质数，因此存在两个大于等于2的正整数${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，使得${\displaystyle n=pq}$
  • 由此可知，${\displaystyle a^{p}}$是${\displaystyle G}$的元素，且${\displaystyle (a^{p})^{q}=a^{pq}=a^{n}=e}$
  • 所有形如${\displaystyle (a^{p})^{y}=a^{py}}$的元素可构成${\displaystyle G}$的一个真子群${\displaystyle H}$，且${\displaystyle H\neq \{e\}}$。
  • 由于${\displaystyle G}$是循环群，因此${\displaystyle G}$是一个交换群。
  • 由于${\displaystyle G}$是交换群，因此${\displaystyle G}$的所有子群都是正规子群。
  • ${\displaystyle H}$是${\displaystyle G}$的一个真子群。
  • ${\displaystyle H}$是${\displaystyle G}$的一个正规子群。
  • ${\displaystyle G}$有${\displaystyle \{e\}}$和自身以外的正规子群，此与${\displaystyle G}$是单群的假设矛盾。
  • 这表示先前的假设“‘若${\displaystyle G}$的阶不是质数，则${\displaystyle G}$不是有限循环群，或者${\displaystyle G}$不是单群。’是错的”这条是错的。
  • 因此原论述“假定${\displaystyle G}$是一个有限循环群，且${\displaystyle G}$是单群，则${\displaystyle G}$的阶为质数。”是对的。

证明

步骤	命题	推论
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	已知
2	${\displaystyle \neg Q}$	已知
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	实质条件 (1)
4	${\displaystyle \neg P}$	选言三段论 (3,2)

参见

• 肯定前件
• 肯定后件（一种逻辑上无效的论证形式）
• 否定前件（一种逻辑上无效的论证形式）
• 推理规则