可分离变数的偏微分方程

可分离变数的偏微分方程（PDE）是指一种偏微分方程，在求解时可以用分离变数法分离为一组阶数较低的微分方程。这一般是因为偏微分方程满足某种形式或是对称。因此可以利用求解一组较简单的偏微分方程来求解原问题，若可以简化为一维的问题，甚至可以用变成常微分方程。

主条目：分离变数法

分离变数法最常见的形式是其解可以假设为几个函数的积，而每个函数只有一个自变数。例如给予一个 ${\displaystyle n}$ 元函数 ${\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})}$ 的偏微分方程，猜想解答的形式为

${\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}$ 。

这是一种特别的分离变数法，称为${\displaystyle R}$-分离变数法，此方式是将解写成和座标有关的固定函数，以及以各座标为自变数函数的乘积。${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$上的拉普拉斯方程是一个可以用${\displaystyle R}$-分离变数法求解的偏微分方程的例子，在三维空间下会用六维球面座标转换（英语：6-sphere coordinates）来求解。

偏微分方程的分离变数法和常微分方程的分离变数法不同，后者是指问题可以变成二个积分相等的形式。

范例

例如，考虑非时变的薛丁格方程

${\displaystyle [-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )}$

针对函数${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$（为简化问题，其为无因次量）（等效的作法是考虑非齐次的亥姆霍兹方程）。若三维函数${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$形式如下

${\displaystyle V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),}$

则此问题可以分解为三个一维的常微分方程，函数分别是${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$、${\displaystyle \psi _{2}(x_{2})}$及${\displaystyle \psi _{3}(x_{3})}$，最后的解可以写成${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})}$。（薛丁格方程中可以分离变数求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列举^[1]）。

1 sources

参考资料

1. L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).