反推控制

反推控制（backstepping）也称为反演控制或反步法，是一种控制理论的技术，在约1990年时由Petar V. Kokotovic（英语：Petar V. Kokotovic）等人提出^[1][2]，针对特殊形式的非线性动力系统设计可以稳定系统的控制器。此一系统是由许多子系统一层一层组成，最内层的子系统不可再简化，可以由其他方式稳定最内层的系统。由于此系统的递归结构，设计者可以以最内层可稳定的系统为启始点，反推新的控制器来稳定较外层的子系统，此程序会一直进行到处理到最外层的外部控制命令为止。因此此方式称为是“反推控制”^[3]。

反推控制的设计方式

反推控制的设计方式可以针对严格回授型式（英语：strict-feedback form）的系统，提供一种递归方式使其在原点可以稳定。考虑以下型式的动力系统^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}&=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}&=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}&=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}&=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}&=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}\end{aligned}}}$

其中

• ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$，其中${\displaystyle n\geq 1}$。
• ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}}$是纯量。
• u是系统的纯量输入
• ${\displaystyle f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}}$在原点处数值为零（也就是说${\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0}$）
• ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}}$是在关注区域内不为零（也就是${\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0}$，在${\displaystyle 1\leq i\leq k}$的情形下）

另外假设系统

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

在原点处有李雅普诺夫稳定性，可以用某种已知的控制方式${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$使得${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$。并且假设针对此稳定子系统，可以其李亚普诺夫函数 ${\displaystyle V_{x}}$。因此x子系统可以由其他方式稳定，利用反推控制可以将其稳定性延展到在外围的${\displaystyle {\textbf {z}}}$。

在x的稳定子系统外围的严格回授型式系统

• 反推控制的控制输入u对状态${\displaystyle z_{n}}$有最直接的稳定性效果。
• 状态${\displaystyle z_{n}}$的作用是在状态${\displaystyle z_{n-1}}$之前的稳定性控制。
• 此程序会继续，使每一个状态${\displaystyle z_{i}}$会都会被虚拟的控制信号${\displaystyle z_{i+1}}$所稳定。

反推控制会确认用${\displaystyle z_{1}}$要稳定x子系统的方式，接著再由下一个状态${\displaystyle z_{2}}$来驱动状态${\displaystyle z_{1}}$，使其产生可以稳定x的信号。因此此程序是从x的严格回授型式反推往外，一直到设计到最终的控制信号u。

递归控制设计概述

递归控制的作法如下

1. 假设较小（低阶）的子系统

   ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

   已经可以用一些控制方式${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$稳定，此控制方式会符合${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$的条件。意思是说，稳定此系统的${\displaystyle u_{x}}$，是用其他控制方式达成的。也假设已知此一稳定系统的李亚普诺夫函数 ${\displaystyle V_{x}}$。反推控制可以将这个子系统的稳定性拓展到较大的系统。

2. 会设计控制信号${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$，使得系统

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$

   稳定，让${\displaystyle z_{1}}$依照想要的${\displaystyle u_{x}}$控制方式进行。此控制器是依照扩充李亚普诺夫候选函数（augmented Lyapunov function candidate）来设计

   ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

   此控制信号${\displaystyle u_{1}}$可以适当选择，使${\displaystyle {\dot {V}}_{1}}$可以远离0

3. 会设计控制信号${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$，使得系统

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$

   稳定，让${\displaystyle z_{2}}$依照想要的${\displaystyle u_{1}}$控制方式进行。此控制器是依照扩充李亚普诺夫候选函数来设计

   ${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}}$

   此控制信号 ${\displaystyle u_{2}}$可以适当选择，使${\displaystyle {\dot {V}}_{2}}$可以远离0

4. 会反复此一程序，一直到其实际u已知为止，而且
   • 真实控制信号u会使${\displaystyle z_{k}}$接近虚拟控制信号${\displaystyle u_{k-1}}$的控制得以稳定。
   • 虚拟控制信号${\displaystyle u_{k-1}}$会使${\displaystyle z_{k-1}}$接近虚拟控制信号${\displaystyle u_{k-2}}$的控制得以稳定。
   • 虚拟控制信号${\displaystyle u_{k-2}}$会使${\displaystyle z_{k-2}}$接近虚拟控制信号${\displaystyle u_{k-3}}$的控制得以稳定。
   • ...
   • 虚拟控制信号${\displaystyle u_{2}}$会使${\displaystyle z_{2}}$接近虚拟控制信号${\displaystyle u_{1}}$的控制得以稳定。
   • 虚拟控制信号${\displaystyle u_{1}}$会使${\displaystyle z_{1}}$接近虚拟控制信号${\displaystyle u_{x}}$的控制得以稳定。
   • 虚拟控制信号${\displaystyle u_{x}}$会使x稳定在原点。

此程序称为反推（backstepping），因为是从内部稳定的子系统开始，渐渐反推到较外围的系统，同时维持每一步的稳定性。因

• ${\displaystyle f_{i}}$在${\displaystyle 0\leq i\leq k}$时为0
• ${\displaystyle g_{i}}$在${\displaystyle 1\leq i\leq k}$不为0
• 给定控制信号${\displaystyle u_{x}}$会满足${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$,

因此所得的系统在原点（${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$, ${\displaystyle z_{1}=0}$, ${\displaystyle z_{2}=0}$, ..., ${\displaystyle z_{k-1}=0}$及${\displaystyle z_{k}=0}$）处稳定，是全域渐进稳定。

相关条目

• 非线性控制
• 严格回授型式（英语：Strict-feedback form）
• 鲁棒控制
• 自适应控制

参考资料

1. Kokotovic, P.V. The joy of feedback: nonlinear and adaptive. IEEE Control Systems Magazine. 1992, 12 (3): 7–17. doi:10.1109/37.165507.
2. Lozano, R.; Brogliato, B. Adaptive control of robot manipulators with flexible joints. IEEE Transactions on Automatic Control. 1992, 37 (2): 174–181. doi:10.1109/9.121619.
3. Khalil, H.K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002 [2020-02-26]. ISBN 978-0-13-067389-3. （原始内容存档于2017-07-25）.