递归控制的作法如下
- 假设较小(低阶)的子系统

- 已经可以用一些控制方式
稳定,此控制方式会符合
的条件。意思是说,稳定此系统的
,是用其他控制方式达成的。也假设已知此一稳定系统的李亚普诺夫函数
。反推控制可以将这个子系统的稳定性拓展到较大的系统。
- 会设计控制信号
,使得系统

- 稳定,让
依照想要的
控制方式进行。此控制器是依照扩充李亚普诺夫候选函数(augmented Lyapunov function candidate)来设计

- 此控制信号
可以适当选择,使
可以远离0
- 会设计控制信号
,使得系统

- 稳定,让
依照想要的
控制方式进行。此控制器是依照扩充李亚普诺夫候选函数来设计

- 此控制信号
可以适当选择,使
可以远离0
- 会反复此一程序,一直到其实际u已知为止,而且
- 真实控制信号u会使
接近虚拟控制信号
的控制得以稳定。
- 虚拟控制信号
会使
接近虚拟控制信号
的控制得以稳定。
- 虚拟控制信号
会使
接近虚拟控制信号
的控制得以稳定。
- ...
- 虚拟控制信号
会使
接近虚拟控制信号
的控制得以稳定。
- 虚拟控制信号
会使
接近虚拟控制信号
的控制得以稳定。
- 虚拟控制信号
会使x稳定在原点。
此程序称为反推(backstepping),因为是从内部稳定的子系统开始,渐渐反推到较外围的系统,同时维持每一步的稳定性。因
在
时为0
在
不为0
- 给定控制信号
会满足
,
因此所得的系统在原点(
,
,
, ...,
及
)处稳定,是全域渐进稳定。