双代数

在数学中，域 ${\displaystyle K}$ 上的双代数是兼具 ${\displaystyle K}$ 上之结合代数（具单位元）与馀代数的结构，而且这两种结构彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代数。

定义

相容性意味著馀乘法与馀单位元都是单位结合代数的同态，这也等价于乘法及单位元是馀代数之同态，因为两者由相同的交换图刻画。

由单位图表的对称性，也可导出下述事实：如果 ${\displaystyle B}$ 是双代数，而且 ${\displaystyle B}$ 具有良好的对偶空间 ${\displaystyle B^{\vee }}$（例如当 ${\displaystyle B}$ 维度有限时），则 ${\displaystyle B^{\vee }}$ 也带有自然的双代数结构。

图表

定义中的相容性由以下交换图给出：

乘法与馀乘法相容：

乘法与馀单位元相容：

馀乘法与单位元相容：

单位元与馀单位元相容：

在此 ${\displaystyle \nabla _{B}:B\otimes _{K}B\to B}$ 是代数乘法，而 ${\displaystyle \eta _{B}:K\to B}$ 是代数之单位元。${\displaystyle \Delta _{B}:B\to B\otimes _{K}B}$ 是馀代数乘法，而 ${\displaystyle \epsilon _{B}:B\to K}$ 是馀代数单位元。${\displaystyle \tau _{B}:B\otimes B\to B\otimes B}$ 定义为 ${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x}$。

式子

若以算式具体描述，则相容关系有如下之表示（在此采用省略 ${\displaystyle \Sigma }$ 之 Sweedler 记法）：

乘法与馀乘法相容：

${\displaystyle (ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)}=a_{(1)}b_{(1)}\otimes a_{(2)}b_{(2)}\,}$

乘法与馀单位元相容：

${\displaystyle \varepsilon (ab)=\varepsilon (a)\varepsilon (b)\;}$

馀乘法与单位元相容：

${\displaystyle 1_{(1)}\otimes 1_{(2)}=1\otimes 1\,}$

单位元与馀单位元相容：

${\displaystyle \varepsilon (1)=1.\;}$

在此我们省略代数乘法之映射 ${\displaystyle \nabla }$，而直接以两项并置表之。同理，单位元 ${\displaystyle \eta }$ 直接以单位元素 ${\displaystyle 1}$ 表示（对应到 ${\displaystyle \eta (1)}$）。

相关文献

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

参见

• 霍普夫代数
• 馀代数
• 结合代数