单模

在抽象代数中，若一个环 ${\displaystyle A}$ 上的模 ${\displaystyle M}$ 其子群只有 ${\displaystyle \{0\}}$ 及自身，则称 ${\displaystyle M}$ 为单模。换言之，环 ${\displaystyle A}$ 上的单模是 ${\displaystyle A}$-模范畴中的单对象。单模又称不可约模。

例子

• 当 ${\displaystyle A}$ 为除环时，其上的单模不外是一维的 ${\displaystyle A}$-向量空间。
• 若 ${\displaystyle I}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的左理想，则 ${\displaystyle A/I}$ 为单 ${\displaystyle A}$-模若且唯若 ${\displaystyle I}$ 是极大左理想；右理想的情形亦同。

性质

• 单模即长度为一的。
• 单模是不可分解的：它无法写成两个非零子模的直和，但是反之则不然。
• 一般而言，模不一定有单子模。例如 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的每个子模都同构于 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，故无单子模。
• 若 ${\displaystyle f:M\to N}$ 是单 ${\displaystyle A}$-模之间的同态，则或者 ${\displaystyle f}$ 是同构，或者 ${\displaystyle f=0}$。由此可证任一单模 ${\displaystyle M}$ 的自同态环 ${\displaystyle \mathrm {End} _{A}(M)}$ 是除环。

参见

• 半单模
• 单群