勒壤得转换(英语:Legendre transformation)是一个在数学和物理中常见的技巧,得名于阿德里安-马里·勒壤得(Adrien-Marie Legendre)。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。
xy-图展示出函数
的勒壤得转换。函数用红色表示,在切点
的切线用蓝色表示。切线与 y-轴相交于点
;这里,
是勒壤得转换
的值,
。特别注意,穿过在红线上任何其它点,而拥有同样斜率
的直线,其与 y-轴相交点必定比点
高,证明
确实是极大值。
为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构,表述此系统的函数关系
改用一个新函数
来表示,其变数
是
的导数,
。而
的值是如右图蓝线在 y 轴的负截距
换句话说,从
x 值到 y 值的函数,转换成
f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数
这程序是由阿德里安-马里·勒壤得所发明的,因此称为勒壤得转换。称函数
为
的勒壤得转换;
用方程式表示
。
此式子表示
中的 u 对
而言是个参数,且参数 u 会满足
的
。即求算表达式关于变数
的极值。
为方便讨论,把讨论限定在
为严格单调递增。会有这方程式是因为在
也就是斜率不变的状况下,对每个
而言,所有与曲线
相交且斜率为
的直线族为
。若令
,该直线即是
在
的切线方程式。把x当作常数并由右图直接观察可知,在
的情况下,
值是最小的,也就是说直线方程式中
这部分是最大的,而正好
,正是原方程式所求的极值。
勒壤得转换是点与线之间对偶性关系(duality)的一个应用。函数
设定的函数关系可以用
点集合来表示;也可以用切线(在严格单调递增的讨论下,切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。
若将勒壤得转换广义化,则会变为勒壤得-芬伽转换(Legendre-Fenchel transformation)。勒壤得转换时常用于热力学与哈密顿力学。
给定区间I ⊂ ℝ和凸函数f : I → ℝ,则其勒让德变换为函数f* : I* → ℝ,
![{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7394d55099ad8c527fd1a6ef9352bb129439a470)
其中
表示上确界,定义域
为
![{\displaystyle I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a5367f3ba568dce7969356d48d4c238bb9b192)
当f(x)为凸函数时,这个函数有良好的定义。
不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ⊂ ℝn 上的凸函数f : X → ℝ:其变换f * : X* → ℝ为定义在
![{\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966e25e4a4e9141f5d0c46e7d38e693325d8fa8e)
上的函数
![{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f72ec2886c09232ee2f0aeddeeff270e10d740)
其中
表示x*和 x的点积。
更详细地定义勒壤得转换,为了求得
关于
的最大值,设定
关于
的偏导数为零:
。
则
。(1)
这表达式必为最大值。因为,凸函数
的二阶导数是负数:
;
用方程式 (1) 来计算函数
的反函数
。代入
方程式,即可以得到想要的形式:
。
计算
的勒壤得转换,所需的步骤为:
- 找出导函数
,
- 计算导函数
的反函数
,
- 代入
方程式来求得新函数
。
这定义切确地阐明:勒壤得转换制造出一个新函数
;其新自变数为
。
另外一种勒壤得转换的定义是:假若两个函数
与
的一阶导数是互相的反函数;
,
或者,
,
则
与
互相为彼此的勒壤得转换。
依照定义,
,
。
思考下述运算:
。
所以,
;
这里,
。
这答案是标准答案;但并不是唯一的答案。设定
,
也可以满足定义的要求。在某些情况下(例如:热力势(thermodynamic potential),会采用非标准的答案。除非另外注明,此页面一律采用标准答案。
以下讨论,函数
的勒壤得转换皆标记为
。
,
。
。
让
成为一个从
到
的线形变换。对于任何定义域为
的凸函数
,必有
;
这里,
是
的伴随算子定义为
。
ex(红色实线)与其勒让德变换(蓝色虚线)。
指数函数
![{\displaystyle f(x)=e^{x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd65bb8c6bd27613de9dac411434bc434dcac468)
的勒让德变换为
,
因为它们的一阶导数 ex与 ln p互为反函数。
勒壤得转换
在热力学里,使用勒壤得转换主要的目的是,将一个函数与所含有的一个自变数,转换为一个新函数与所含有的一个新自变数,(此新自变数是旧函数对于旧自变数的偏导数);将旧函数减去新自变数与旧自变数的乘积,得到的差就是新函数。勒壤得转换可以用来在各种热力势(thermodynamic potential)之间作转换。例如,内能
是外延量(extensive)熵
,体积
,与化学成份(chemical composition)
的显函数
。
对于
,函数
(非标准的)勒壤得转换为焓函数
:
,
。
一个熵与内含量(intensive)压力的函数。当压力是常数时,这函数很有用。
对于
,函数
勒壤得转换为吉布斯能函数
:
,
。
对于
,函数
勒壤得转换为亥姆霍兹自由能函数
:
,
。
这些自由能函数时常用在常温的物理系统。
在经典力学里,勒壤得转换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述,或反导之。拉格朗日量
是广义坐标
与广义速度
的函数;而哈密顿量
将函数的自变量转换为广义坐标
与广义动量
:
,
。
正则变换广泛地应用勒壤得转换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变,
,而同时维持哈密顿方程式的形式,虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程式为
,
,
;
这里,
是旧正则坐标,
是新正则坐标,
是旧哈密顿量,
是新哈密顿量,
是生成函数。
- Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.
- Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.