可加范畴

在范畴论中，一个可加范畴是一个存在有限双积的预加法范畴。旧文献所谓的“可加范畴”有时指预可加范畴，在当代理论中则倾向于区别两者。

一如预可加范畴，对一交换环${\displaystyle k}$也能定义${\displaystyle k}$-可加范畴，可加范畴是${\displaystyle k=\mathbb {Z} }$的情形。

例子

最直接的例子是交换群范畴Ab，此时的有限双积即群的有限直积。其它常见例子包括：

• 一个环上的左模范畴，包括域或除环上的向量空间范畴。
• 环上的矩阵代数。

基本性质

加法范畴是预可加范畴的特例，因此具有预可加范畴的性质，在此仅考虑可加范畴对双积的特性：

首先注意到空双积存在，称为零对象，记作${\displaystyle 0}$；它同时是范畴中的始对象与终对象。

给定加法范畴中的对象${\displaystyle A,B}$，考虑与自身的双积${\displaystyle A^{n}}$与${\displaystyle B^{m}}$；透过双积的射影与内射态射，能够以矩阵表示从${\displaystyle A^{n}}$至${\displaystyle B^{m}}$的态射；若取${\displaystyle A=B}$、${\displaystyle n=m}$，则态射的合成对应于方阵乘法。

可加函子

一个预加法范畴间的函子${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$若在同态集上给出群同态，则称作可加函子。如果${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$还是可加范畴，而且${\displaystyle F}$保存双积的交换图，则称之为（可加范畴间的）可加函子。换言之：

若${\displaystyle B}$是${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$在${\displaystyle {\mathcal {C}}}$中的双积，设${\displaystyle p_{j}}$为相应的投影而${\displaystyle i_{j}}$为相应的内射，则${\displaystyle F(B)}$是${\displaystyle F(A_{1}),\ldots ,F(A_{n})}$的双积，使得${\displaystyle F(p_{j})}$为相应的投影而${\displaystyle F(i_{j})}$为相应的内射。

可加范畴间常见的函子都是可加函子。事实上，可以证明加法范畴间的伴随函子都是可加函子，而范畴论中的重要函子多以伴随函子的面貌出现。

特殊例子

• 一个预阿贝尔范畴是使每个态射都有核与上核的可加范畴。
• 一个阿贝尔范畴是一个使态射均为严格态射的预阿贝尔范畴。

应用最广的可加范畴通常都是阿贝尔范畴。

文献

• Nicolae Popescu, 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc.（已绝版） 该书对此主题有仔细介绍