公式 (数理逻辑)

在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。^{[需要解释（似乎翻译自英语而语焉不详）]}

公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义（特定于一阶逻辑）：公式是相对于特定语言而定义的；就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数（arity）来指示它所接受的参数的数目。

定义

项的递归定义

• 一个变量

或

• 一个常量符号

或

• ${\displaystyle f(t_{1},...,t_{n})\,}$，这里的${\displaystyle f\,}$是一个n-元函数符号，而${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\,}$是项。

公式的递归定义

• ${\displaystyle t_{1}=t_{2}\,}$，这里的${\displaystyle t_{1}\,}$和${\displaystyle t_{2}\,}$是项

或

• ${\displaystyle R(t_{1},...,t_{n})\,}$，这里的${\displaystyle R\,}$是一个n-元关系符号，而${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\,}$是项

或

• ${\displaystyle (\neg \varphi )}$，这里的${\displaystyle \varphi \,}$是公式

或

• ${\displaystyle (\varphi \land \psi )\,}$，这里的${\displaystyle \varphi \,}$和${\displaystyle \psi \,}$是公式

或

• ${\displaystyle (\exists x)(\varphi )\,}$，这里的${\displaystyle x\,}$是一个变量而${\displaystyle \varphi \,}$是一个公式。

解释

公式并不一定具备封闭形式（即不一定没有省略号）。

• 阶乘“！”、求和式“∑”和求积式“∏”等都隐含省略号。
• 排列数和组合数等都含有省略号。

按照通项公式去计算有时比按照定义去计算更加复杂。

• 斐波那契数列公式：

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\varphi )^{n} \over {\sqrt {5}}}}$

但是相比较按照这个公式计算${\displaystyle f_{n}\,}$，还是按照递归定义：${\displaystyle f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}(n\geq 3)\,}$进行计算更方便。

根据谓词逻辑的语义推导规则，语义应该具有一致性，就是对于一个命题逻辑语句集f，当且仅当至少存在这样一种解释i，f的一切元素在i之下都是真的，那么，f是语义一致的。在命题逻辑语义学内，一个赋值不能同时把真和假给予某个命题原子式。在命题逻辑语义学中，在同一解释下，一个集合不能既属于某个谓词的外延又不属于该谓词的外延。{现代西方哲学逻辑，复旦大学出版社235页}

原子公式

主条目：原子公式

参见

• WFF
• 原子公式
• 句子 (数理逻辑)
• 原子句子
• T-模式

外部链接

• NIST数学函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）