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克鲁斯克尔演算法(英语:Kruskal's algorithm)是一种用来寻找最小生成树的演算法[1],由美国数学家约瑟夫·克鲁斯克尔在1956年发表[2]。用来解决同样问题的还有普林演算法和布卢瓦卡演算法等。三种演算法都是贪心算法的应用。和布卢瓦卡演算法不同的地方是,克鲁斯克尔演算法在图中存在相同权值的边时也有效。
通过使用路径压缩的并查集,平均时间复杂度为,其中和分别是图的边集和点集。
KRUSKAL-FUNCTION(G, w) 1 F := 空集合 2 for each 图 G 中的顶点 v 3 do 将 v 加入森林 F 4 所有的边(u, v) ∈ E依权重 w 递增排序 5 for each 边(u, v) ∈ E 6 do if u 和 v 不在同一棵子树 7 then F := F ∪ {(u, v)} 8 将 u 和 v 所在的子树合并
以下代码基于路径压缩和按秩合并的并查集,时间复杂度 。
#include <bits/stdc++.h>
struct DSU {
std::vector<int> fa, sz;
DSU(int n = 0) : fa(n), sz(n, 1) {
std::iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
}
int Find(int x) { // 路径压缩
while (x != fa[x])
x = fa[x] = fa[fa[x]];
return x;
}
bool Merge(int x, int y) { // 按秩合并
x = Find(x), y = Find(y);
if (x == y) return false; // 处于同一连通分量
if (sz[x] > sz[y]) std::swap(x, y);
fa[x] = y;
sz[y] += sz[x];
return true;
}
}; // 并查集
int main() {
int n, m; // 点数,边数
std::cin >> n >> m;
std::vector<std::tuple<int, int, int>> edge(m);
// 边集,三元组分别表示边权和边的两个端点
for (auto &[w, u, v] : edge)
std::cin >> u >> v >> w;
std::sort(edge.begin(), edge.end()); // 按边权升序排序
DSU dsu(n); // 初始化并查集
long long result = 0; // 最小生成树边权和
for (auto &[w, u, v] : edge)
if (dsu.Merge(u, v)) result += w;
// 合并两个连通分量并统计答案
std::cout << result << std::endl;
return 0;
}
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