克鲁尔维数

在交换代数中，一个环的克鲁尔维数定义为素理想链的最大长度。此概念依数学家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

定义

设交换环 ${\displaystyle R}$ 中有 ${\displaystyle n+1}$ 个素理想 ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}}$，使得

${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}$

则称之为长度为 ${\displaystyle n}$ 的素理想链，一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。${\displaystyle R}$ 的克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度，这也等于是 ${\displaystyle R}$ 中素理想的最大可能高度。

根据定义， ${\displaystyle R}$ 的维数与对素理想的局部化有下述关系

${\displaystyle \dim R=\sup\{\dim R_{\mathfrak {p}}:{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} R\}}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$ 表 ${\displaystyle R}$ 的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$。当 ${\displaystyle R}$ 为链环时，对各极大理想的局部化皆有相同维数；代数几何处理的交换环通常都是链环。

例子与性质

例如在环 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]}$ 中可考虑以下的素理想链

${\displaystyle (2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)}$

因此 ${\displaystyle \dim(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]\geq 3}$；事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质：

• 零维的整环是域。
• 离散赋值环与戴德金整环是一维的。
• 若 ${\displaystyle \dim R=k}$，则 ${\displaystyle k+1\leq \dim R[X]\leq 2k+1}$；当 ${\displaystyle R}$ 为诺特环时则 ${\displaystyle \dim R[X]=k+1}$。
• 若 ${\displaystyle k}$ 为域，则 ${\displaystyle \dim k[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$。
• 若 ${\displaystyle B}$ 为 ${\displaystyle A}$-代数，同时又是有限生成的 ${\displaystyle A}$-模，则 ${\displaystyle \dim B=\dim A}$。

与几何的关系

在代数几何中，一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界；对于仿射概形 ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} A}$，则回归到 ${\displaystyle \dim X=\dim A}$。

设 ${\displaystyle k}$ 为域，${\displaystyle R}$ 是有限型 ${\displaystyle k}$-整代数，这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理，存在非负整数 ${\displaystyle d}$ 及 ${\displaystyle R}$ 中彼此代数独立的元素 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ，使得 ${\displaystyle R}$ 是有限生成之 ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}$-模，因此 ${\displaystyle \dim R=d}$。从几何观点看，${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$ 此时是 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$ 的有限分歧覆盖，因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观：

1. ${\displaystyle \dim \mathbb {A} _{k}^{d}=d}$
2. 若 ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ 是分歧覆盖，则 ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$。

特别是当 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ 时，代数簇的克鲁尔维数等于复几何中定义的维数。

文献

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9