偶然对消

偶然对消或异常对消（Anomalous cancellation）是指算术上不正确的处理，但其结果恰好是正确的。例如在化简分数时直接将分子和分母各位数中相同的数字删除，这不是正确的约分方法，大部份情形下得到的答案是错的，但偶尔这样的运算会出现正确的结果^[1]。

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}$

微积分中偶然对消的例子

以下是一些偶然对消的例子，十进制下分子及分母都是二位数，分子及分母不相等，且皆非11的倍数，可以偶然对消的分数只有以下这些以及其倒数：

${\displaystyle {\frac {64}{16}}={\frac {\not 64}{1\not 6}}={\frac {4}{1}}=4}$

${\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {2\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {19}{95}}={\frac {1\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {98}{49}}={\frac {\not 98}{4\not 9}}={\frac {8}{4}}=2}$^[2]

博厄斯（Ralph P. Boas, Jr）分析了其他进制下的偶然对消，例如4进制下，分子及分母不相等的二位数分数，偶然对消的例子只有32/13 = 2/1及其倒数^[2]。

二位以上的分数也会有偶然对消，例如165/462 = 15/42。

基本性质

若采用以素数${\displaystyle p}$进位的数位表示法（也即p-进制数），则这种对消没有分子分母在两位数及以下的解。证明如下：反证假设存在这样的对消，不失一般性的，设这样的对消满足以下等式：

${\displaystyle {\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}}$

其中用双竖线表示两个数在数位上的拼接。这可以推出

${\displaystyle {\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cp=b(a-c)}$

注意到 ${\displaystyle a,b,c}$都应该是${\displaystyle p}$-进制下的一位整数，故必然有${\displaystyle p|b(a-c)}$。而由${\displaystyle b}$无法为0（否则对消后将原先非零的数变成了0），故唯一解满足${\displaystyle a=c}$，同时这也将导出${\displaystyle a=b}$。该情况下化简成立，但并非化到最简的情形。

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参考资料

1. Weisstein, Eric W. (编). Anomalous Cancellation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in Mathematical Plums (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 113–129, 1979.