代数同态

在A和B两个K-多元环之间的同态是指一个函数${\displaystyle F:A\rightarrow B}$，此函数能使得对所有在K内的k和在A内的x、y来说，

• F(kx) = kF(x)

• F(x + y) = F(x) + F(y)

• F(xy) = F(x)F(y)

若F是双射的，则F称为是A和B之间的同构。

例子

令A=K[x]为在一个体K上的所有多项式所组成的集合，且B为一个在K上所有多项式函数所组成的集合，则A跟B两个都会是在K上分别由标准的多项式和函数的乘法及加法所构成的代数。可以将每个在A内的${\displaystyle f\,}$以${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)\,}$的方式映射至于B内的${\displaystyle {\hat {f}}\,}$。很简单便可以知道这个映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$会是一个A和B两个代数之间的同态。若K是一个有限体的话，则可令

${\displaystyle p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,}$

其中p是一个在K[x]内的非零多项式。但对所有在K内的t，${\displaystyle p(t)=0\,}$，所以其映射${\displaystyle {\hat {p}}=0\,}$都会是一个零值函数，这两个代数因此不会是同构的。

若K是无限的，则令${\displaystyle {\hat {f}}=0\,}$。接下来要证明这会使得${\displaystyle f=0\,}$。设${\displaystyle deg(f)=n\,}$和${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\,}$为K内n+1个不同的元素，则对${\displaystyle 0\leq i\leq n}$都会有${\displaystyle f(t_{i})=0\,}$。再利用拉格朗日插值便能得到${\displaystyle f=0\,}$。因此映射${\displaystyle f\rightarrow {\hat {f}}\,}$是单射的，故而有一个在A和B之间的同构。