代数逻辑

在数理逻辑中，代数逻辑使用抽象代数方法形式化逻辑。

逻辑作为代数构成的模型

代数逻辑把逻辑当作特定代数结构构成的模型(解释、释义)，特别是作为格构成的模型，并因而是序理论的分支。

在代数逻辑中:

• 变量默许的全称量化于某个论域之上。这里没有存在量化变量或开放公式；
• 项使用基本和定义的运算从变量建造。这里没有连结词；
• 公式用通常方式从项建造，并且如果它们逻辑等价则可以写成等式。要表达重言式，写一个公式等于真值真；
• 证明的规则是对相等者的等式代换，和一致替换。肯定前件仍然有效，但很少采用。

在下表中，左列包含一个或多个逻辑或数学系统，它是在右列展示的代数结构构成的模型。这些结构要么是布尔代数要么是它的严格扩展。模态逻辑和其他非经典逻辑典型是“带有算子的布尔代数”所构成的模型。

代数形式主义在至少以下方面超越了一阶逻辑:

• 组合子逻辑，有集合论的表达能力；
• 关系代数，可论证为典范代数逻辑，它可以表达皮亚诺算术和多数公理化集合论，包括正规的 ZFC。

逻辑系统	构成模型的结构
经典命题演算	林登鲍姆-塔斯基代数 两元素布尔代数
直觉命题逻辑	Heyting代数
模态逻辑 K	模态代数
Lewis的 S4	内部代数
Lewis的 S5 一元谓词逻辑	一元布尔代数
一阶逻辑	圆柱代数 多元代数 谓词函子逻辑
集合论	组合子逻辑 关系代数

历史

代数逻辑有至少两种意义:

• 早年的布尔代数的研究，
• 当代的数理逻辑分支抽象代数逻辑。

第一种含义开始于十九世纪中期的奥古斯都·德·摩根和乔治·布尔的工作，接续于查尔斯·皮尔士，达到顶点于 Ernst Schröder 的工作。模型论的创立者 Leopold Loewenheim 和 Thoralf Skolem 是遵循代数传统的逻辑学家。塔斯基是现代数理逻辑主要分支之一的集合论上的模型论的创立者，他在 1940 年的论文中重新阐述了 Schröder 的关系代数并简化了它的公理。这个论文可以被认为是现代抽象代数逻辑的起点。

代数逻辑可以证明开始于莱布尼兹在 1680 年代写的许多备忘录中，直到 1903 年才被 Louis Couturat 在莱布尼兹未发表的遗作中找到并出版。他的逻辑学著作在 Parkinson 和 Loemker 1969 年翻译成英语之前很少被研究。

在 1847 年奥古斯都·德·摩根和乔治·布尔独立的出版了开启现代数理逻辑的小册子。他们和后来的查尔斯·皮尔士、Hugh MacColl、弗雷格、皮亚诺、伯特兰·罗素和怀特海都共享了莱布尼兹的合并符号逻辑、数学和哲学的梦想。莱布尼兹方法的顶点被证明为开始于奥古斯都·德·摩根、发展于查尔斯·皮尔士和 Ernst Schröder 的关系代数，并在并塔斯基和他的学生的工作中达到了完全成熟。

上述提到的人物都没有受到莱布尼兹的影响。有一个例外是模态逻辑之父 Clarence Irving Lewis，他在 1918 年出版了莱布尼兹的逻辑学著作的一个重要片段的英文翻译。

引用

• Brady, Geraldine, 2000. From Peirce to Skolem: A neglected chapter in the history of logic. North-Holland.
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots. Princeton Univ. Press.
• Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz’s Logic（页面存档备份，存于互联网档案馆）" in Gabbay, D., and Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. North-Holland: 1-84.
• Loemker Leroy. Leibniz: Philosophical Papers and Letters. Reidel. 1969 (1956). 请检查|date=中的日期值 (帮助)
• Roger Maddux, 1991, "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations," Studia Logica 50: 421-55.
• Parkinson, G.H.R., 1966. Leibniz: Logical Papers. Oxford Uni. Press.
• Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" in The Ways of Paradox. Harvard Univ. Press: 283-307.
• Zalta, E. N., 2000, "A (Leibnizian) Theory of Concepts（页面存档备份，存于互联网档案馆）," Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logical Analysis and History of Philosophy 3: 137-183.