交错级数判别法

交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。

具有以下形式的级数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

其中所有的a_n 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列a_n的极限存在且等于0，并且每个a_n小于或等于a_n-1（即，数列a_n是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!}$

那么部分和

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$

逼近L有截断误差

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!}$

证明

我们假设级数具有形式${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$．当${\displaystyle n}$趋于无穷时，数列${\displaystyle a_{n}}$的极限等于0，并且每个 ${\displaystyle a_{n}}$小于或等于${\displaystyle a_{n-1}}$（即${\displaystyle a_{n}}$是单调递减数列）．^[1]

收敛性证明

给定数列前 ${\displaystyle (2n+1)}$ 项的部分和 ${\displaystyle S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}}$．由于每个括号内的和非正，并且 ${\displaystyle a_{2n+1}\geq 0}$ ，那么前 ${\displaystyle (2n+1)}$ 项的部分和不大于 ${\displaystyle a_{0}}$.

并且每个部分和可写做 ${\displaystyle S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)}$．每个括号内的和非负．因此，级数 ${\displaystyle S_{2n+1}}$ 单调递增：对任何 ${\displaystyle n\in N}$ 均有：${\displaystyle S_{2n+1}\leq S_{2n+3}}$.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 ${\displaystyle s}$ 使得 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s}$.

由于 ${\displaystyle S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}}$ 并且 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ，那么 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=s}$．给定数列的和为 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s}$ ，其中 ${\displaystyle s}$ 为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明

在收敛性的证明过程中，我们发现${\displaystyle S_{2n+1}}$是单调递增的．由于${\displaystyle S_{2n}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)}$，并且括号中的每一项是非正的，这样可知${\displaystyle S_{2n}}$是单调递减的．由先前的论述，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}=L}$，因此${\displaystyle S_{2n}\geq L}$．类似的，由于${\displaystyle S_{2n+1}}$是单调递增且收敛到${\displaystyle L}$，我们有${\displaystyle S_{2n+1}\leq L}$．因此我们有${\displaystyle S_{2n+1}\leq L\leq S_{2n}}$对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有${\displaystyle |L-S_{k}|=L-S_{k}\leq S_{k+1}-S_{k}=a_{k+1}\leq a_{k}}$，而如果k是偶数我们有${\displaystyle |L-S_{k}|=S_{k}-L\leq S_{k}-S_{k-1}=a_{k}}$．

参阅

• 狄利克雷判别法

图书资料

• Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6

• Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3

• Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3

参考文献

1. Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.