九连环

九连环是一种源于中国的传统智力游戏，韩国称为留客珠、留客环^[1]，这种古老玩具以往在民间极为普及。它包含着九个相同的圆环及一把“剑”，游戏目标是把九个圆环全套上或卸下。

九个圆环：
- 每个圆环上都连著一根直杆，
- 每根直杆都从后一环内穿过，除最后一环。
一个剑框（木、铁…）：
- 每个圆环最后都穿过这剑框。
一根长形剑（铁棒、钗…）：
- 穿在九个环上，可由复杂步骤取出或装上。

中国称做“九连环”。
- 其实九连环不一定是要“九”连环，也可以是“七”连环、“十一”连环等，但其中却是“九连环”最广为人知。中国人心目中以九为尊，且“九”代表一种“多数”。有这种说法：“‘巧环’难解，‘九连环’更难解”，“九”个“连环”表示着一种不能轻易得解的等级，难度达到了颠峰。其中次出名的为“六连环”，取其六六无穷之意。
西方称为“中国环 (Chinese Ring)”。
意大利叫作“卡丹环 (Cardan's Rings)”。
威尼斯称做“所罗门王之封 (Sigillo Salomen)。
- 因可被当做不用钥匙开启的锁。

传说九连环源于中国古代民间，一说发明于战国时代，另一说发明于三国时期，但能确认就是九连环的记载是明代杨慎（1488-1559，号升庵）的《丹铅总录》（见《升庵集》卷六十八）。

中国
- 战国时代名家惠施曾著立《连环可解》的立论。
  - 惠施所说连环是指《战国策》卷第十三中提到的玉连环，南宋鲍彪注称这种玉连环是“两环相贯”，显然不是这里所说的九连环。
- 据说三国时期，诸葛亮常带兵打仗，为排遣妻子寂寞而发明。
- 于明代普及，明代中期时，流传更是极广。
- 清代上至士大夫，下至贩夫走卒，个个爱玩“九连环”。
- 《红楼梦》中曾有描写在深闺中玩九连环的细节。
西方
- 1550年
  - 巴黎刊行的数学文献，清楚地讨论过这“中国难题”。
  - 著名义大利数学家卡当的著作中将之称为“中国九连环”。
- 1685年，英国数学家瓦里斯对此作了详细的数学说明。
- 19世纪，格罗斯用二进位数给了它一个十分优美的解答。

九连环背后的数学结构是一种二进位系统，因为其九个环有固定的顺序，且每个环都有位于上方和下方两种状态，因此若将环的两种状态分别给予代号1和0，则九连环某时刻的状态011010010，可以被给予代号 $S$ ，本段将讨论各不同状态间的转换和可能性。

两种基本操作

九连环有且只有两种操作方法，本段中将最右端的数位定为九连环的刀尖末端的环。

操作一或操作 $A$ ，刀尖指向右方时，切换最右方的环的状态，原先位于上的下移，原先位于下的上移，该可切换之环以代号x表示。

例如: $00110101x$

操作二或操作 $B$ ，刀尖指向右方时，切换位于上排处最右端环的左侧邻近环，原先位于上的下移，原先位于下的上移，该可切换之环以代号x表示。

例如: $001101x10$

基本操作之可逆性

定义描述方式:

$\cdots S_{n}\cdot A\cdot S_{n+1}\cdot B\cdot S_{n+2}\cdots$

的意涵为：

当处于 $S_{n}$ 状态之九连环向式子右方进行了 $A$ 操作后会转换至 $S_{n+1}$ 的状态，该 $S_{n+1}$ 状态再继续向右方进行了 $B$ 操作后会转换至 $S_{n+2}$ 的状态。因为操作之可逆性，因此也可以解读成当处于 $S_{n+2}$ 状态之九连环向式子左方进行了 $B$ 操作后会转换至 $S_{n+1}$ 的状态，该 $S_{n+1}$ 状态再继续向左方进行了 $A$ 操作后会转换至 $S_{n}$ 的状态。