中点法

数值分析里的中点法（midpoint method）是求解常微分方程的一种数值方法，属于单步法。

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

中点法的图示说明，假设${\displaystyle y_{n}}$等于${\displaystyle y(t_{n})}$的实际值。中点法计算${\displaystyle y_{n+1}}$让红色的弦近似平行于中点处的切线（绿色）

上式的显式中点法为

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),}$

1e

隐式中点法为

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right),}$

1i

${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$。此处${\displaystyle h}$是步阶长度，是一个小的正数，${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$，而${\displaystyle y_{n}}$是计算${\displaystyle y(t_{n})}$的近似值。显式中点法也称为是改良的欧拉方法（modified Euler method）^[1]，隐式中点式是最简单的配置法（英语：collocation method）（Collocation method），可用在哈密顿力学，也就是辛积分器（英语：symplectic integrator）。

此方法的名称是因为上述公式会用到函数在${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}}}$位置的值，也就是在${\displaystyle t_{n}}$以及${\displaystyle t_{n+1}}$中点时的值，前者的值已知，后者的值未知，在计算中点的值时，也需要有一些假设，才能进行计算。

配合图示（见右图）会比较容易理解此一方法。在原始的欧拉方法里，会用${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$，计算曲线在${\displaystyle (t_{n},y_{n})}$处的切线。此切线和垂直线${\displaystyle t=t_{n+1}}$的交点即为下一个点${\displaystyle y_{n+1}}$的值。不过，若此函数的二阶导数在时间${\displaystyle t_{n}}$和${\displaystyle t_{n+1}}$的区间均为正, 或是均为负（如图中的例子），随著${\displaystyle h}$加大，曲线和切线的距离会越来越远，导致大误差。图中所画的中点的切线（上方，绿线）比较可以近似这段曲线。不过因为要求解的就是此一曲线，时间${\displaystyle t_{n}}$的资讯已知，其他资讯不足，可能无法精准的画出中点处的切线。

因此，会先用原始的欧拉方法估计在中点的${\displaystyle y(t)}$值，再用${\displaystyle f()}$以及估计的中点资讯，计算切线斜率。用改善后的切线从${\displaystyle y_{n}}$计算${\displaystyle y_{n+1}}$的值。最后一步即为图的红色弦线。因为红色弦线是估计值，用的是${\displaystyle y(t)}$在中点处的估计值，不一定真的会和绿线（真正的中点切线）平行，仍会有误差。

中点法每一步的局部误差是${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$，全域误差是${\displaystyle O\left(h^{2}\right)}$。其运算比欧拉方法要大，但在${\displaystyle h\to 0}$的过程中，中点法的误差会比欧拉方法降低的更快。

此法也是高阶方法（如龙格-库塔法）的范例之一。

中点法的推导

微分方程${\displaystyle y'=y,\ y(0)=1}$的数值积分求解图。

  蓝：欧拉法

  绿：中点法

  红：精确解：${\displaystyle y=e^{t}}$

步长${\displaystyle h=1.0}$。

同一个方程的数值方法求解，步长缩减为${\displaystyle h=0.25.}$，可以看出中点法的收敛比欧拉法要快

中点法可以视为是改良版的欧拉方法

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

因此用类似的方式推导。 推导欧拉法的关键是以下的近似等式

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))}$

2

是源自以下的斜率公式

${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

3

，其中${\displaystyle y'=f(t,y).}$

在中点法中，将(3)改为更准确的式子

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

因此可以得到以下类似(3)式，计算${\displaystyle y(t+h)}$的式子

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right).}$

4

在上式中，因为还不知道${\displaystyle y}$在${\displaystyle t+h/2}$的值，无法用上式直接计算${\displaystyle y(t+h)}$。解法是用欧拉方法来求解${\displaystyle y(t+h/2)}$:

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),}$

代入(4)式中，可得

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

以上则是显式的中点法(1e)。

隐式中点法(1i)可以将此时间内的波形假设为直线，中间步数${\displaystyle t+h/2}$的值用${\displaystyle y(t)}$和${\displaystyle y(t+h)}$的平均值来表示

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

因此

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

因为隐式方法的时间对称性，局部误差中${\displaystyle h}$的偶次项都消去了，局部误差的阶数是＼${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{3})}$。

相关条目

• 黎曼和
• Heun方法
• 蛙跳积分法和韦尔莱积分法

脚注

1. Süli & Mayers 2003，第328页

参考资料

• Griffiths, D. V.; Smith, I. M. Numerical methods for engineers: a programming approach. Boca Raton: CRC Press. 1991: 218. ISBN 0-8493-8610-1.
• Süli, Endre; Mayers, David, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-00794-1.
• Burden, Richard; Faires, John. Numerical Analysis. Richard Stratton. 2010: 286. ISBN 978-0-538-73351-9.