数学上,不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系,与相等相对。不等关系主要有四种: a < b {\displaystyle a<b} ,即 a {\displaystyle a} 小于 b {\displaystyle b} a > b {\displaystyle a>b} ,即 a {\displaystyle a} 大于 b {\displaystyle b} 此条目没有列出任何参考或来源。 (2013年3月15日) 上述两个属于严格不等。 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} ,即 a {\displaystyle a} 小于等于 b {\displaystyle b} a ≥ b {\displaystyle a\geq b} ,即 a {\displaystyle a} 大于等于 b {\displaystyle b} a ≠ b {\displaystyle a\neq b} ,即 a {\displaystyle a} 不等于 b {\displaystyle b} 将两个表达式用不等符号连起来,就构成了不等式。 若不等关系对变量的所有元素都成立,则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立,而对另一部分将改变方向或失效,则称为条件不等。 不等式两边同时加或减相同的数,或者两边同时乘以或除以同一个正数,不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等关系改变方向。 符号 a ≫ b {\displaystyle a\gg b} 表示 a {\displaystyle a} “远大于” b {\displaystyle b} 。其含义是不确定的,可以是 100 倍的差异,也可能是10个数量级的差异。和方程相联系,它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。 不等具有下列性质: 三一律: 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} ,只有下列之一是真的: a < b {\displaystyle a<b} a = b {\displaystyle a=b} a > b {\displaystyle a>b} 调换性质: 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} : a < b {\displaystyle a<b} 和 b > a {\displaystyle b>a} 是等价的。 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 和 b ≥ a {\displaystyle b\geq a} 是等价的。 传递性: 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} : 如果 a < b {\displaystyle a<b} 且 b < c {\displaystyle b<c} ,则 a < c {\displaystyle a<c} 。 如果 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} ,则 a ≤ c {\displaystyle a\leq c} 。 如果 a < b {\displaystyle a<b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} ,则 a < c {\displaystyle a<c} 。 如果 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b < c {\displaystyle b<c} ,则 a < c {\displaystyle a<c} 。 加法性质: 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} : 若 a > b {\displaystyle a>b} ;则 a + c > b + c {\displaystyle a+c>b+c} 。 若 a < b {\displaystyle a<b} ;则 a + c < b + c {\displaystyle a+c<b+c} 。 乘法性质: 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} ,且有 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} : 若 c {\displaystyle c} 为 正数 且 a > b {\displaystyle a>b} ;则 a c > b c {\displaystyle ac>bc} 。 若 c {\displaystyle c} 为 正数 且 a < b {\displaystyle a<b} ;则 a c < b c {\displaystyle ac<bc} 。 若 c {\displaystyle c} 为 负数 且 a > b {\displaystyle a>b} ;则 a c < b c {\displaystyle ac<bc} 。 若 c {\displaystyle c} 为 负数 且 a < b {\displaystyle a<b} ;则 a c > b c {\displaystyle ac>bc} 。 注意:当遇上不等关系求解时,比如已知 A > B {\displaystyle A>B} , C > D {\displaystyle C>D} ,不可以认为 A − C > B − D {\displaystyle A-C>B-D} ,但根据此描述可知 A − D > B − C {\displaystyle A-D>B-C} 是真的。 a < b < c {\displaystyle a<b<c} 代表“ a < b {\displaystyle a<b} 且 b < c {\displaystyle b<c} ”。 a ≤ b ≤ c {\displaystyle a\leq b\leq c} 代表“ a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} ”。 a < b ≤ c {\displaystyle a<b\leq c} 代表“ a < b {\displaystyle a<b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} ”。 a ≤ b < c {\displaystyle a\leq b<c} 代表“ a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b < c {\displaystyle b<c} ”。 若 x > 0 {\displaystyle x>0} ;则 x x ≥ ( 1 e ) 1 e , {\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},} 若 x > 0 {\displaystyle x>0} ;则 x x x ≥ x {\displaystyle x^{x^{x}}\geq x\,} 若 x , y , z > 0 {\displaystyle x,y,z>0} ;则 ( x + y ) z + ( x + z ) y + ( y + z ) x > 2 {\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,} 若 x , y , z > 0 {\displaystyle x,y,z>0} ;则 x x y y z z ≥ ( x y z ) x + y + z 3 , {\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},} 若 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} ;则 a a + b b ≥ a b + b a {\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,} 若 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} ;则 a e a + b e b ≥ a e b + b e a {\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,} 若 a , b , c > 0 {\displaystyle a,b,c>0} ;则 a 2 a + b 2 b + c 2 c ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a {\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,} 若 a 1 , … , a n > 0 {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}>0} ;则 a 1 a 2 + a 2 a 3 + ⋯ + a n a 1 > 1 {\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1} More information , ... 证明 a < b {\displaystyle a<b} (10) [前提] c < d {\displaystyle c<d} (15) [前提] a − b < 0 {\displaystyle a-b<0} (20) 源自 (10) 0 < d − c {\displaystyle 0<d-c} (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 经由递移性质可以得到 a − b < d − c {\displaystyle a-b<d-c} (30) 源自 (20) (25) a − b + ( b + c ) < d − c + ( b + c ) {\displaystyle a-b+(b+c)<d-c+(b+c)} (35) 源自 (30) a + c < b + d {\displaystyle a+c<b+d} (40) 源自 (35) [结论] Close 对于实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 、 d {\displaystyle d} ,若 a < b {\displaystyle a<b} 且 c < d {\displaystyle c<d} ;则 a + c < b + d {\displaystyle a+c<b+d} 例-1 More information , ... 证明 a < b {\displaystyle a<b} (45) [前提] c < d {\displaystyle c<d} (50) [前提] − c > − d {\displaystyle -c>-d} (55) 源自 (50) − d < − c {\displaystyle -d<-c} (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 经由 (例-1) 可以得到 a + ( − d ) < b + ( − c ) {\displaystyle a+(-d)<b+(-c)} (65) 源自 (45) (60) a − d < b − c {\displaystyle a-d<b-c} (70) 源自 (65) [结论] Close 对于实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 、 d {\displaystyle d} ,若 a < b {\displaystyle a<b} 且 c < d {\displaystyle c<d} ;则 a − d < b − c {\displaystyle a-d<b-c} 例-2 二元关系 偏序关系 不等号 不等式列表 Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. 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