一致连续

一致连续又称均匀连续，（英语：uniformly continuous），为数学分析的专有名词，大致来讲是描述对于函数 ${\displaystyle f(\cdot )}$ 我们只要在定义域中让任意两点 ${\displaystyle x}$ 跟 ${\displaystyle y}$ 越来越接近，我们就可以让 ${\displaystyle f(x)}$ 跟 ${\displaystyle f(y)}$ 无限靠近，这跟一般的连续函数不同之处在于：${\displaystyle f(x)}$ 跟 ${\displaystyle f(y)}$ 之间的距离并不依赖 ${\displaystyle x}$ 跟 ${\displaystyle y}$ 的位置选择。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定义

设 ${\displaystyle (X,d_{1})}$ 和 ${\displaystyle (Y,d_{2})}$ 皆是度量空间，我们说函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 一致连续，这代表对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$，使得定义域中任意两点 ${\displaystyle x,y}$ 只要 ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$，就有 ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon }$。

当 ${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 都是实数的子集合，${\displaystyle d_{1}}$ 和 ${\displaystyle d_{2}}$ 为绝对值 ${\displaystyle |\cdot |}$ 时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$，使得对任意两点 ${\displaystyle |x-y|<\delta }$，都有 ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$，则称函数 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle X}$上一致连续。

均匀连续跟在每点连续最大的不同在于：在均匀连续定义中，正数 ${\displaystyle \delta }$ 的选择只依赖 ${\displaystyle \epsilon }$ 这变数，而不依赖定义域上点的位置。

一致连续性定理

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数${\displaystyle f:X\to Y}$，${\displaystyle (X,d_{1})}$为紧致度量空间，${\displaystyle (Y,d_{2})}$为度量空间。

假设${\displaystyle f}$不是一致连续的，则存在一个${\displaystyle \epsilon >0}$，对于任意${\displaystyle n}$都存在${\displaystyle x_{n},y_{n}}$满足条件${\displaystyle d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}}$并且${\displaystyle d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon }$。

因为${\displaystyle X}$为紧致度量空间，${\displaystyle X}$是序列紧致的，所以存在一个${\displaystyle (x_{n})}$的收敛子序列${\displaystyle (x_{k_{n}})}$，设其收敛到${\displaystyle x}$。

${\displaystyle d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0}$，所以${\displaystyle (y_{k_{n}})\to x}$。

因为${\displaystyle f}$连续，${\displaystyle \epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0}$，矛盾，定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

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