Meijer G-函数是荷兰数学家梅耶尔引入的一种特殊函数。它是广义超几何函数的推广,绝大多数的特殊函数都可以用 Meijer G-函数表示出来。
定义
广义超几何函数有下列一般的积分表达式(参见相关小节):
![{\displaystyle \left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e8a3c7603ffb382813751d7843845799099b89)
其中积分路径 C 视参数 p, q 的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。
Meijer-G 函数是上面积分表达式的一个推广,它的定义为:
![{\displaystyle G_{p,q}^{m,n}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}z^{s}\left.\left(\prod _{k=1}^{n}\Gamma (1-a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{k}+s)\right)\right/\left(\prod _{k=n+1}^{p}\Gamma (a_{k}-s)\right/\left.\prod _{k=1}^{m}\Gamma (b_{k}-s)\right)\mathrm {d} s}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0189585be7474f2eda45df3ffc7d5b414cf1b3e8)
其中积分路径 C 视参数的相对大小而定[注 1]。但是,为了保证至少一条积分路径有定义,要求
![{\displaystyle a_{k}-b_{l}\notin \mathbb {Z} ^{+},\quad \forall k=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,m}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b509ccfbda6e08d25142003620e8a926065912)
在书写 Meijer-G 函数时要注意,上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 bk,而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 ak。
对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer-G 函数的关系:
![{\displaystyle {\begin{array}{cl}&{\frac {\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})}}\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\\=&G_{p,q+1}^{1,p}\left[{\begin{matrix}1-a_{1}&1-a_{2}&\ldots &1-a_{p}\\0&1-b_{1}&\ldots &1-b_{q}\end{matrix}};-z\right]\\=&G_{q+1,p}^{p,1}\left[{\begin{matrix}1&b_{1}&\ldots &b_{q}\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\end{matrix}};-{\frac {1}{z}}\right]\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c4893d725cd7cbdcdce2d43dfba9ce92b71b4c)
基本性质
和广义超几何函数一样,如果上下两个向量组在合适的位置有相同的元素,则 Meijer-G 函数可以降阶,此处不再赘述。
一般关系式
Meijer-G 函数的导函数具有下列性质:
![{\displaystyle z^{h}{\frac {\mathrm {d} ^{h}}{\mathrm {d} z^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ead4e0df3181618db009ea87717e76852bc694)
注意 h 可以取任意整数值,取负数时表示不定积分。
另一方面,
![{\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5436c14403b55c98a37c2e129c178c2bb7acadfa)
![{\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b852792b93a231717768846d5c5a5e9a0e14bb4)
![{\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-a_{1}+1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\geq 1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1092b2ee7c7c0bf80f8c3de8588cf3e1eeb3b73)
![{\displaystyle \left(a_{p}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-1\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad n\leq p-1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b394b4d3220afe3e7b3ab1d3e4ee7066743252f)
![{\displaystyle \left(z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}-b_{q}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\leq q-1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395efa78da488f53f4fb93ac35b6a43c12cb74f8)
![{\displaystyle \left(b_{1}-z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\quad m\geq 1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37dcc73c63da1b2c020b89b998b138b923211cb)
上面的式子都可以直接由定义得到。
向量组中两个元素相差整数时的关系式
由
![{\displaystyle {\frac {\Gamma (1-u+s)}{\Gamma (1-v+s)}}=(-1)^{u-v}{\frac {\Gamma (v-s)}{\Gamma (u-s)}},\quad u-v\in \mathbb {Z} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b9fb766d28219dfaf0b85eeeab5f71e46bed30)
又有
![{\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab24c251b394b2ae151c97e222a6a72d3c517a62)
![{\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436323c0b194ca844fcf82d34b377d3eb4986cb8)
![{\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c62290218f6bee40e40979241919f1e8280082)
微分方程
由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer-G 函数满足下列微分方程,它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。
.
这是一个 max(p,q) 阶的线性微分方程,在 z=0 附近的基本解组可以选取为
![{\displaystyle {\begin{cases}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,&{\text{ if }}p\leqslant q\\G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p,&{\text{ if }}p\geqslant q\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8fe0250890343b9cfdd9bfdb464ba3e38e1383)
当 p=q 时两种取法都可以。
从 m, n 的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此,以第一种情况为例,
![{\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)=z^{b_{h}}G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-b_{h},\dots ,a_{p}-b_{h}\\0,b_{1}-b_{h},\dots ,b_{h-1}-b_{h},b_{h+1}-b_{h},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ec51427b1184a287d2b3633b9018eba98a7948)
等号右边的 Meijer-G 函数显然就是广义超几何函数。
特殊情形
因为广义超几何函数是 Meijer-G 函数的特殊情形,故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer-G 函数表示,但是,在个别情况下,用 Meijer-G 函数有更简单的表示式,例子如诺依曼函数,它可以用超几何函数0F1表示,但表示式仅仅是将(第一类)贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中,因此含有两个超几何函数。而用 Meijer-G 函数就可以直接表示为:
![{\displaystyle Y_{\nu }(z)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg z\leq {\frac {\pi }{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17868092767f4582890849d40c8e9c1a73a2f5ba)
另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数,它无法用广义超几何函数表出,但可以用 Meijer-G 函数表出:
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,z)}{\partial a}}=\Gamma (a,z)\ln z+\,G_{2,\,3}^{\,3,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\a,0,0\end{matrix}}\;\right|\,z\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5206891304dec2e75e2e23c62bbd0f18a72a2d4)
事实上,不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer-G 函数表出,详见不完全Γ函数一文。
推广
如同广义超几何函数和Kampé de Fériet函数(双变量的广义超几何函数)的关系那样,Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况:
注
参考文献
- Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248
- Beals, Richard; Szmigielski, Jacek. Meijer G-Functions: A Gentle Introduction, (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2013, 60 (7) [2014-09-06]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-26).
- Luke, Yudell L. The Special Functions and Their Approximations, Vol. I. New York: Academic Press. 1969. ISBN 0-12-459901-X. (see Chapter V, "The Generalized Hypergeometric Function and the G-Function", p. 136)
- The Wolfram Functions Site. [2014-09-06]. (原始内容存档于2007-10-10).
外部链接