反正弦(arcsine,
,
)是一种反三角函数。在三角学中,反正弦被定义为正弦值的反函数。在实数域
内,正弦函数的值域为
,不是一个双射函数,故在整个定义域上无法有单值的反函数;但若限定正弦函数的定义域在
([180°k-90°,180°k+90°])内,则正弦函数有反函数。在实数域内,通常将反正弦函数的定义域限制在区间
,值域限制在区间
([-90°,90°])中;若利用自然对数,则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集,但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。
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反正弦 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Arcsin.svg/220px-Arcsin.svg.png) |
性质 |
奇偶性 | 奇 |
定义域 | [-1, 1] |
到达域 | ![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee) ([-90°,90°]) |
周期 | N/A |
特定值 |
当x=0 | 0 |
当x=+∞ | N/A |
当x=-∞ | N/A |
最大值 | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
最小值 | ![{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a118833a527afc76283d59786a4e07dea08e479) (-90°) |
其他性质 |
渐近线 | N/A |
根 | 0 |
拐点 | 原点 |
不动点 | 0 |
反正弦的符号是arcsin,也常常写作
。如此写法可以被接受的理由是,正弦函数的倒数是余割,有单独的写法,因此不易和
混淆。另外在某些计算机的按键或电脑的编程语言中,反正弦会以asin或asn表示。
原始的定义是将正弦函数限制在
([-90°,90°])的反函数,得到如下定义域和值域:
![{\displaystyle \arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7f827ec0fecb3f314ba32e6fe8320742e669ba)
- (
)
利用自然对数可将定义推广到整个复数集:
![{\displaystyle \arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5d0909fa652e0d63498dcaf98e79ec0bf75498)
拓展到复数的反正弦函数
反正弦函数的导数是:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec06c8ae023ace8c75b0c5b1068603778dc0502)
- 故实数域内,它在整个定义域上单调递增。
- 反正弦函数的泰勒级数是:
.
反正弦函数是奇函数,故:
另外,反正弦的和差也可以合并成一个反正弦来表达:
![{\displaystyle \arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f033e0ed5d1e36f4090e560264a5c19c9a6ef7)
其中
。
和差公式:
![{\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40e0de84959c203a191a67194e82476d20fe4aa)
倍变数公式:
(对0 ≤ kx ≤ 1)
![{\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bf0ac1ca80348cb47347ee51863067a3fa03c1)