类氢原子
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似氢原子模型(Hydrogen-like atom)是只拥有一个电子的原子,与氢原子同为等电子体,例如,He+, Li2+, Be3+与B4+等等都是类氢原子,又称为“类氢离子”。类氢原子只含有一个原子核与一个电子,是个简单的二体系统,系统内的作用力只跟二体之间的距离有关,是反平方连心力。这反平方连心力二体系统不需再加理想化,简单化。描述这系统的(非相对论性的)薛丁格方程式有解析解,也就是说,解答能以有限数量的常见函数来表达。满足这薛丁格方程式的波函数可以完全地描述电子的量子行为。在量子力学里,类氢原子问题是一个很简单,很实用,而又有解析解的问题。所推演出来的基本物理理论,又可以用简单的实验来核对。所以,类氢原子问题是个很重要的问题。
称满足上述系统的薛丁格方程式的波函数为单电子波函数,或类氢原子波函数。类氢原子波函数是单电子角动量算符 与其 z-轴分量算符
的本征函数。由于能量本征值
跟量子数
,
无关,而只跟主量子数
有关。所以,类氢原子波函数可以由主量子数
、角量子数
、磁量子数
,独特地决定。因为构造原理,还必须加上自旋量子数
。对于多电子原子,这原理限制了电子构型的四个量子数。对于类氢原子,所有简并的轨域形成了一个电子层;每一个电子层都有其独特的主量子数
.这主量子数决定了电子层的能量。主量子数也限制了角量子数
、磁量子数
、自旋量子数
的值域。
除了氢原子(电中性)以外,类氢原子都是离子,都带有正电荷量 ;其中,
是单位电荷量,
是原子序数。离子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等,都是类氢原子。
在元素周期表中,第 IA 族的碱金属元素,其原子的最外电子层都有一个电子,而第二外层电子层的亚层,不论是 s 亚层或 p 亚层,凡是内中有电子的亚层.都已被填满。例如,钠元素有11个电子。电子排布为 。最外层只有一个电子。第二外层的
与
亚层都已填满。钾元素有19个电子。电子排布为
。第二外层的
与
亚层都已填满。由于
亚层的轨域的能量较高,最外层唯一的一个电子的轨域是
。受到内层电子的紧密屏蔽,这最外层的电子只能感受到大约为一个质子的存在。有效原子序数是 1 。所以,这碱金属的单电子系统可以视为一个类氢原子系统。可以用原子序数为 1 的类氢原子波函数,来近似地表达这电子的量子态。
因为电子与电子之间的库仑相互作用,拥有多个电子的原子或离子没有解析解,必须用数值法来做量子力学计算,才能求得近似的波函数以及其它有关性质。由于哈密顿量的球对称性,一个原子的角动量 守恒。许多数值程序,开始于单电子算符
与
的本征函数的乘积。所计算出来的波函数的径向部分 有时会是数值列表或斯莱特轨域 (Slater orbitals) 。应用角动量偶合方法 (angular momentum coupling) ,可以设定
(或许也可以设定
)的多电子本征函数。