瑞利商

在数学中，瑞利商（英语：Rayleigh quotient）定义为：^[1][2]

$${\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.}$$

式中，${\displaystyle M}$为复埃尔米特矩阵，${\displaystyle x}$为非零向量。对实矩阵和向量，对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵，对向量的共轭转置退化为转置。

${\displaystyle R(M,cx)=R(M,x)}$对所有非零标量${\displaystyle c}$成立。

埃尔米特矩阵（或实对称矩阵）只具有实特征值且可对角化，由此，对于给定矩阵，其瑞利商达到最小值λ（${\displaystyle M}$的最小特征值）当${\displaystyle x}$为${\displaystyle v_{\min }}$（最小特征值对应的特征向量）；类似的：${\displaystyle R(M,x)\leq \lambda _{\max }}$，${\displaystyle R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }}$。^[2]

瑞利商使用最小最大定理（英语：Min-max_theorem）（min-max theorem）获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法（如瑞利商迭代（英语：Rayleigh_quotient_iteration）），从特征向量近似值中获得特征值近似值。

在量子力学中，瑞利商给出了状态为${\displaystyle x}$的系统中算子${\displaystyle M}$观测值的期望值。

埃尔米特矩阵M的界

对于任意向量${\displaystyle x}$，其瑞利商满足${\displaystyle R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]}$，其中${\displaystyle \lambda _{\min },\lambda _{\max }}$分别代表矩阵${\displaystyle M}$的最小特征值和最大特征值。观察定义可知，矩阵${\displaystyle M}$的瑞利商等价于其特征值的加权和：$${\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}$$其中${\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}$是第${\displaystyle i}$个归一化后的特征值-特征向量对，${\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}$是${\displaystyle x}$在特征基中的第${\displaystyle i}$个坐标。可以验证，当${\displaystyle x}$为矩阵${\displaystyle M}$最小（最大）特征值对应的特征向量${\displaystyle v_{\min }}$（${\displaystyle v_{\max }}$）时，${\displaystyle R(M,x)}$取值达到其下（上）界。

参考文献

1. 史, 荣昌; 魏, 丰. 矩阵分析. 北京: 北京理工大学. 2010: 144–147. ISBN 9787564031893.
2. 张, 贤达. 矩阵分析与应用. 北京: 清华大学. 2013: 442–447. ISBN 9787302338598.