开尔文环流定理

在流体动力学上，开尔文环流定理（英语：Kelvin's circulation theorem，由第一代开尔文男爵威廉·汤姆森于1869年发表^[1]，因此以他命名）描述在彻体力保守的正压理想流体中闭合曲线（包围相同的流体元）的环量在流体运动时并不会随时间而改变^[2]。其数学描述为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

其中${\displaystyle \Gamma }$为材料围线${\displaystyle C(t)}$的环流。用更简单的话来说，这条定理所指的是，若观察闭合围线并注意它一段时间（注意所有流体元的运动）的话，则始终两者间的环流相等。

本定理在有黏性应力、非保守彻体力（例如科里奥利力）或非正压的压力－密度关系的情况下并不成立。

数学证明

参见：欧拉方程 (流体动力学)

材料围线${\displaystyle C(t)}$的环流 ${\displaystyle \Gamma }$的定义为：

${\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$

其中u为速度向量，ds为沿着闭合围线的单元。

彻体力保守的非黏性流体的主宰方程式为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$

其中D/Dt为实质导数，ρ为流体密度，p为密度，以及Φ为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。

正压性条件意味着密度是压力的函数，且为其唯一自变量，即${\displaystyle \rho =\rho (p)}$。

取环流的实质导数，得：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}}$

把主宰方程式代入第一项并使用斯托克斯定理，得：

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}$

最后的等式是源自${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}$，它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数${\displaystyle f}$的梯度的旋度皆为零这一事实${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$。

已知材料线元的时间进化由下式给出（可由实质导数的定义求得）

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}}$

因此

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0}$

使用交换律后再使用${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\nabla \left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)}$。而最后的等式则使用了斯托克斯定理。

由于第一项及第二项皆为零，得

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}$

参见

• 亥姆霍兹定理 (流体力学)

参考资料

1. Sir W. Thomson. On Vortex Motion. Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 1869, 25: 217–260.
2. Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002