贝塞尔函数
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贝塞尔函数(Bessel functions),是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数(Bessel function of the first kind)。一般贝塞尔函数是下列常微分方程(一般称为贝塞尔方程)的标准解函数:
该方程的通解无法用初等函数表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程,需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数:
注意,由于 在 x=0 时候是发散的(无穷),当取 x=0 时,相关系数
必须为0时,才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化(相应地,α被称为其对应贝塞尔函数的阶数)。实际应用中最常见的情形为α是整数n,对应解称为n 阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中,α本身的正负号不改变方程的形式,但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数(这样做能带来好处,比如消除了函数在α=0 点的不光滑性)。