误差传播

很多情况下，被测量Z 不能直接测得，而是由N 个其他量${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$通过函数关系来确定，在统计学上，由于变量含有误差，而使由函数计算出的被测量Z 受其影响也含有误差，称之为误差传播。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。

误差传播定律

设有一般函数（线性函数和非线性函数）

Z=${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$

式中${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ 为可直接观测的相互独立的未知量，z为不便于直接观测的未知量。已知${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ 的标准差分别为${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}}$ ,现在要求z的标准差${\displaystyle m_{z}}$ 。已知函数z的中误差关系式为${\displaystyle m_{z}^{2}}$ =${\displaystyle k_{1}^{2}m_{1}^{2}+k_{2}^{2}m_{2}^{2}+\dots +k_{n}^{2}m_{n}^{2}}$（其中${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}$为任意常数）。由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似的用函数的全微分来表达，为此对上式求全微分，并以真误差的符号“Δ”替代微分的符号“d”得 ${\displaystyle \Delta z={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\cdot \Delta x_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\cdot \Delta x_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\cdot \Delta x_{n}}$

式中${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ （i=1，2，，…，n）是函数对各个变量变量所取得偏导数，对上式以标准差平方代替真误差,由函数z的中误差关系式可得

${\displaystyle m_{z}^{2}}$ =${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)^{2}m_{1}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)^{2}m_{2}^{2}+\dots +\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)^{2}m_{n}^{2}}$

将上式取平方根可得误差传播定律的一般形式

${\displaystyle m_{z}}$=±${\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)^{2}m_{1}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)^{2}m_{2}^{2}+\dots +\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)^{2}m_{n}^{2}}}}$

参见

• 测量精度
• 自动微分
• Delta方法（英语：Delta method）
• 精度衰减因子
• 误差
• 实验不确定度分析（英语：Experimental uncertainty analysis）
• 测量不确定度
• 数值稳定性
• 概率界限分析（英语：Probability bounds analysis）
• 有效位运算（英语：Significance arithmetic）
• 不确定性量化（英语：Uncertainty quantification）
• 随机模糊变量（英语：Random-fuzzy variable）

外部链接

• Uncertainties and Error Propagation, Appendix V from the Mechanics Lab Manual, Case Western Reserve University.
• Mathieu Rouaud, 2013: Probability, Statistics and Estimation（页面存档备份，存于互联网档案馆） Propagation of Uncertainties in Experimental Measurement.
• A detailed discussion of measurements and the propagation of uncertainty（页面存档备份，存于互联网档案馆） explaining the benefits of using error propagation formulas and monte carlo simulations instead of simple significance arithmetic.
• Uncertainties and Error Propagation, Vern Lindberg's Guide to Uncertainties and Error Propagation.