纳皮尔的骨头

纳皮尔的骨头（英语：Napier's bones）是苏格兰数学家约翰纳皮尔发明的一种用来计算乘法与除法，类似算盘的工具。由一个底座及九根圆柱（方柱）组成，可以把乘法运算转为加法，也可以把除法运算转为减法。更为进阶的用法也可以开平方根

底座跟柱子

纳皮尔的骨头在清初传入中国，数学家梅文鼎在《梅氏丛书辑要》中最先介绍纳皮尔的骨头，梅氏称之为“筹算”。后来戴震著作《策算》也叙述了这种算法^[1]。

清代骨质算筹。中国财税博物馆藏。

简介

底座左边的数字由上而下是1-9。先将之称为n。

每根圆柱又分为十格，下面九格有自左下而右上的斜线。最上面的格子写著1-9的数字，姑且称为k，代表著这根柱子的编号。编号下面的数字则是由k乘上横排相对应的n得到的，十位数摆左上角，个位数摆右下角。

乘法运算

举例说明如何用纳皮尔的骨头进行乘法运算。

46785399乘以7

1.把编号4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圆柱依序放入底座。

2.如下图将结果相加即得到乘积（记得要进位）。

46785399乘以96431

1.把编号4,6, 7,8, 5,3, 9,9的圆柱依序放入底座。

2.将46785399乘以9,6, 4,3, 1分别用上述方法一条一条算出来。

3.接著用直式加法把数字加起来。

除法运算

同样举例说明。

46785399除以96431

1.把除数（96431）编号的柱子摆入底座。

2.如下图所示把96431乘以1-9的结果写出来。

3. 46785399从左边六位开始看，下面写上小于467853但最大的96431k。

4.用467853去减96431k（此例中k=4），得到的数字写下面。

5.把上面的数字（9）移下来，如同长除法般重复进行此动作。

6.最后得到一个比96431还小的数，为馀数。

7.如有需要，可以一直进行除法工作以得到小数点位数。

开平方根

用来开平方根的纳皮尔的骨头会用到第十根柱子，上有三个直排。第一排上有数字1-9的平方，第二排是数字2,4, ...,18，第三排则是1-9。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	√
1	0/1	0/2	0/3	0/4	0/5	0/6	0/7	0/8	0/9	0/1     2   1
2	0/2	0/4	0/6	0/8	1/0	1/2	1/4	1/6	1/8	0/4     4   2
3	0/3	0/6	0/9	1/2	1/5	1/8	2/1	2/4	2/7	0/9     6   3
4	0/4	0/8	1/2	1/6	2/0	2/4	2/8	3/2	3/6	1/6     8   4
5	0/5	1/0	1/5	2/0	2/5	3/0	3/5	4/0	4/5	2/5   10   5
6	0/6	1/2	1/8	2/4	3/0	3/6	4/2	4/8	5/4	3/6   12   6
7	0/7	1/4	2/1	2/8	3/5	4/2	4/9	5/6	6/3	4/9   14   7
8	0/8	1/6	2/4	3/2	4/0	4/8	5/6	6/4	7/2	6/4   16   8
9	0/9	1/8	2/7	3/6	4/5	5/4	6/3	7/2	8/1	8/1   18   9

求出46785399的平方根

1.把46785399分为两位两位一组，46 78 53 99。（如果奇数位数，如83559，写成8 35 59）

2.从最左边那组，46，开始。找出比这数最小的完全平方数，是在第六横排上的36。

3.因为是从第六横排上挑出来的，所以答案的第一位是6。

4.找到第十根柱子上的第六横排第二直排，12，然后把1跟2的柱子放在底座上。

5.用46减去36得到10，然后把上面下一组的78移到10的右边。

1 2 √ 1 0/1 0/2 0/1     2   1 2 0/2 0/4 0/4     4   2 3 0/3 0/6 0/9     6   3 4 0/4 0/8 1/6     8   4 5 0/5 1/0 2/5   10   5 6 0/6 1/2 3/6   12   6 7 0/7 1/4 4/9   14   7 8 0/8 1/6 6/4   16   8 9 0/9 1/8 8/1   18   9

_____________ √46 78 53 99 = 6 36 -- 10 78

7.找出比1078还要小但最大的数，在此第八横排的1024是最大的：

 0/8 1/6 6/4 → 1024

8. 8为答案的下一位数，写在6旁边，然后把1078减去1024得到54。

1 2 √ （value） 1 0/1 0/2 0/1     2   1 121 2 0/2 0/4 0/4     4   2 244 3 0/3 0/6 0/9     6   3 369 4 0/4 0/8 1/6     8   4 496 5 0/5 1/0 2/5   10   5 625 6 0/6 1/2 3/6   12   6 756 7 0/7 1/4 4/9   14   7 889 8 0/8 1/6 6/4   16   8 1024 9 0/9 1/8 8/1   18   9 1161

_____________ √46 78 53 99 = 68 36 -- 10 78 10 24 ----- 54

9.把之前的12乘上10，再加上第十根柱子第八横排第二直排的数，16，得136。

10.重复上述步骤可得到结果：

1 3 6 √ 1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1 2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2 3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3 4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4 5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5 6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6 7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7 8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8 9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9

_____________ √46 78 53 99 = 68 36 -- 10 78 10 24 ----- 54 53

11.再次找到比5453还要小但最大的数，为4089。5453减去4089为1364，并把3写在68的旁边。

1 3 6 √   1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1 1361 2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2 2724 3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3 4089 4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4 5456 5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5 6825 6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6 8196 7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7 9569 8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8 10944 9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9 12321

_____________ √46 78 53 99 = 683 36 -- 10 78 10 24 ----- 54 53 40 89 ----- 13 64

12.把3乘2的结果加上之前136的十倍，得到1366。把1,3, 6,6的版子摆入底座。

13.再度重复上述步骤。现在比最底下的数小的数是第九横排的123021。

1 3 6 6 √   1 0/1 0/3 0/6 0/6 0/1     2   1 13661 2 0/2 0/6 1/2 1/2 0/4     4   2 27324 3 0/3 0/9 1/8 1/8 0/9     6   3 40989 4 0/4 1/2 2/4 2/4 1/6     8   4 54656 5 0/5 1/5 3/0 3/0 2/5   10   5 68325 6 0/6 1/8 3/6 3/6 3/6   12   6 81996 7 0/7 2/1 4/2 4/2 4/9   14   7 95669 8 0/8 2/4 4/8 4/8 6/4   16   8 109344 9 0/9 2/7 5/4 5/4 8/1   18   9 123021

_____________ √46 78 53 99 = 6839 36 -- 10 78 10 24 ----- 54 53 40 89 ----- 13 64 99 12 30 21 -------- 1 34 78

14.再把9加到答案当中，得到整数答案6839。

我们把题目给的数46785399用完了，但是底下还有馀数13478。这意味著6839只是答案的整数部分，${\displaystyle {\sqrt {46785399}}}$的实际值应当比6839大，比6840小。如果有需要继续做下去以得到小数部分的话，下一组的两个数字就要用00：

1 3 6 7 8 √ 1 0/1 0/3 0/6 0/7 0/8 0/1     2   1 2 0/2 0/6 1/2 1/4 1/6 0/4     4   2 3 0/3 0/9 1/8 2/1 2/4 0/9     6   3 4 0/4 1/2 2/4 2/8 3/2 1/6     8   4 5 0/5 1/5 3/0 3/5 4/0 2/5   10   5 6 0/6 1/8 3/6 4/2 4/8 3/6   12   6 7 0/7 2/1 4/2 4/9 5/6 4/9   14   7 8 0/8 2/4 4/8 5/6 6/4 6/4   16   8 9 0/9 2/7 5/4 6/3 7/2 8/1   18   9

_____________ √46 78 53 99 = 6839. 36 -- 10 78 10 24 ----- 54 53 40 89 ----- 13 64 99 12 30 21 -------- 1 34 78 00

这些步骤可以一直重复使得到的答案无限逼近正解。

最后，如果要求平方根的数是小数的话，将数字分组的时候整数部分跟小数部分要分开分组；整数部分如常，小数部分则是方向相反。

例如数字54782.917的分组情况为：

5 47 82 . 91 7

接著便可开平方。

参考文献

1. 吴文俊主编<《中国数学史大系》第七卷 156-158页