素数定理
數論中的定理 / 维基百科,自由的 encyclopedia
在数论中,素数定理(英语:Prime number theorem)描述素数在自然数中分布的渐进情况,给出随著数字的增大,质数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明。证明用到了复分析,尤其是黎曼ζ函数。
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素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看,素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看,素数的个数竟然有规可循。对正实数x,定义π(x)为素数计数函数,亦即不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。
其中 ln x 为 x 的自然对数。上式的意思是当 x 趋近无限,π(x)与x/ln x的比值趋近 1。但这不表示它们的数值随著 x 增大而接近。
下面是对π(x)更好的估计:
,当x 趋近∞。