筛法基本引理
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在数论上,筛法基本引理(fundamental lemma of sieve theory)指的是数个对于把筛法套用到特定问题上的过程进行系统化结果。哈巴施潭(英语:Heini Halberstam)与理希(英语:Hans-Egon Richert) [1]:92–93写道:
筛法文献一个引人好奇的特性是尽管人们常用布朗筛法,但仅有少数人尝试为布朗‘定理’(如定理2.1)给出一个一般公式;而这结果就是,有令人惊讶多的论文不断地在许多细节上,重复布朗的论证。
贾盟(Diamond)与哈巴施潭(英语:Heini Halberstam)[2]:42认为“基本引理”一词源自约拿·古必柳(英语:Jonas Kubilius)。
共通符号
此条目中,我们使用以下的符号:
是一个有
个正整数的集合,而
则是由可被
除尽的正整数组成的子集。
及
是
与
的函数,这些函数可用以估计
中可被
除尽的元素的个数。而我们有以下的公式:
- 因此,
表示能被
除尽的元素的大致密度;而
则表示剩馀项或误差。
是一个质数的集合,而
则是所有不大于
的质数的乘积。
是
中不为任何
中不大于
的质数除尽的元素的数量。
是一个常数,又称作筛选密度(sifting density)。[3]:28这筛选密度会出现在以下的假设中,表示被每个质数筛掉的同馀类数量的加权平均。
组合筛法基本引理
以下公式表示取自太能保母(Tenenbaum)。[4]:60,其他的公式表示则可见于哈巴施潭(英语:Heini Halberstam)与理希(英语:Hans-Egon Richert)、[1]:82、葛里维斯(Greaves)及[3]:92及弗里兰(英语:John Friedlander)与伊万尼兹等人的著作。[5]:732–733
我们首先作出如下假设:
是一个积性函数。
- 对于某个常数
及任意满足
的实数
及
而言,筛选密度
满足如次条件:
对于、
、
及
而言,我们有以下等式。此公式中的
由使用者自行决定其数值:
在实际应用中,可对进行选取已得到最佳的结果。在这筛法中,其数值取决于容斥原理的使用层级数。
塞尔伯格筛法基本引理
以下公式表示取自哈巴施潭(英语:Heini Halberstam)与理希(英语:Hans-Egon Richert)的结果[1]:208–209;另一个公式表示可见于贾盟(Diamond)与哈巴施潭(英语:Heini Halberstam)的结果。[2]:29
我们首先作出如下假设:
是一个积性函数。
- 对于某个常数
及任意满足
的实数
及
而言,筛选密度
满足如次条件:
- 对于一些小且固定的
及所有的
而言,
。
- 对于所有无平方因子、且质因数位于
中的
而言,
。
使用上述的假定,塞尔伯格筛法基本引理跟组合筛法基本引理几乎相同。设,则有如次结论:
应当注意的是,在我们的处理中,不再是一个独立参数,而是一个取决于
的参数。
另外值得注意的是,此处的误差项弱于上述组合筛法基本引理的误差项;而哈巴施潭(英语:Heini Halberstam)与理希(英语:Hans-Egon Richert)对此写道说:“因此一直以来许多文献假定的‘塞尔伯格筛法总是比布朗筛法还要好’的这说法不全然为真。”
注解
- Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730.
- Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6.
- Greaves, George. Sieves in Number Theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41647-1.
- Tenenbaum, Gérald. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41261-7.
- Friedlander, John; Henryk Iwaniec. On Bombieri's asymptotic sieve. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze. 4e série. 1978, 5 (4): 719–756 [2009-02-14]. (原始内容存档于2023-05-08).